⚠️ DE #1 FOUT: Afronden bij "exact"!
Als er staat "bereken exact" of "bereken algebraïsch", dan mag je antwoord GEEN kommagetal zijn! ❌ 2,65 → ✅ √7 |
❌ 0,693 → ✅ ln(2) |
❌ 3,14 → ✅ π
De Eenheidscirkel (Jouw Beste Vriend!)
Waarom de eenheidscirkel?
In plaats van alle waarden uit je hoofd te leren, kun je ze AFLEIDEN met de eenheidscirkel. Schets hem altijd als je twijfelt!
Stappenplan: Waarde bepalen met de eenheidscirkel
Schets de eenheidscirkel met straal 1, middelpunt O in de oorsprong
Teken de hoek vanaf de positieve x-as, tegen de klok in
Bepaal het punt P op de cirkel waar de hoeklijn snijdt
cos(α) = x-coördinaat van P (horizontaal)
sin(α) = y-coördinaat van P (verticaal)
Tekens in de 4 Kwadranten
Kwadrant I (0 - ½π)
sin > 0, cos > 0 ALLES +
Kwadrant II (½π - π)
sin > 0, cos < 0 alleen SIN +
Kwadrant III (π - 3/2π)
sin < 0, cos < 0 alleen TAN +
Kwadrant IV (3/2π - 2π)
sin < 0, cos > 0 alleen COS +
Ezelsbruggetje ASTC: "All Students Take Coffee"
Kwadrant I: All (alles positief)
Kwadrant II: Students (sin positief)
Kwadrant III: Take (tan positief)
Kwadrant IV: Coffee (cos positief)
Voorbeeld: sin(⁵⁄₆π) bepalen
⁵⁄₆π ≈ 150° ligt in kwadrant II
Referentiehoek: π - ⁵⁄₆π = ⅙π (30°)
sin(⅙π) = ½
In kwadrant II is sin positief, dus sin(⁵⁄₆π) = ½
Exacte Waarden - LEER DEZE!
Deze 5 hoeken MOET je uit je hoofd kennen voor "bereken exact" vragen!
De 5 Standaardhoeken
Graden
Radialen
sin
cos
tan
0°
0
0
1
0
30°
⅙π
½
½√3
⅓√3
45°
¼π
½√2
½√2
1
60°
⅓π
½√3
½
√3
90°
½π
1
0
—
Geheugensteun voor sin-waarden:
De noemer is altijd 2, de teller gaat van 0 tot 4:
Voor cos: zelfde waarden, maar in omgekeerde volgorde!
Wanneer welke formule gebruiken?
Op het examen staan de som-, verschil- en verdubbelingsformules op de formulekaart.
De kunst is om te herkennen WANNEER je ze moet toepassen!
Formule-keuze gids
Als je ziet...
Gebruik dan...
Voorbeeld
sin(2x) of cos(2x)
Verdubbelingsformule
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
sin²(x) in een vergelijking
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
Herschrijf als sin²(x) = ½(1-cos(2x))
cos²(x) in een vergelijking
cos(2x) = 2cos²(x) - 1
Herschrijf als cos²(x) = ½(1+cos(2x))
sin²(x) + cos²(x)
Pythagoras: = 1
Vervang sin²(x) door 1 - cos²(x)
sin(x)cos(x) product
sin(2x)/2
Want sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Som sin(a+b)
Somformule
sin(t+u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
Voorbeeld: Vergelijking oplosbaar maken
Los op: cos(2x) = sin(x)
Probleem: twee verschillende argumenten (2x en x)
Kies verdubbelingsformule: cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
Invullen: 1 - 2sin²(x) = sin(x)
Herschrijf: 2sin²(x) + sin(x) - 1 = 0
Substitueer: p = sin(x) → 2p² + p - 1 = 0
Los op: (2p - 1)(p + 1) = 0 → p = ½ of p = -1
sin(x) = ½ → x = ⅙π + 2kπ of x = ⅚π + 2kπ
sin(x) = -1 → x = ³⁄₂π + 2kπ
De meest vergeten truc:
Bij vergelijkingen met sin²(x) of cos²(x): gebruik Pythagoras (sin² + cos² = 1) om alles in één functie te schrijven, dan kwadratisch oplossen!
Radialen en Graden
Radialen zijn de standaard hoekeenheid in wiskunde B.
1 radiaal = de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal.
Omrekenen graden ↔ radialen
180° = π rad
Graden → radialen: vermenigvuldig met π/180
Radialen → graden: vermenigvuldig met 180/π
Belangrijke hoeken - UIT JE HOOFD!
Graden
Radialen
sin
cos
tan
0°
0
0
1
0
30°
π/6
½
½√3
⅓√3
45°
π/4
½√2
½√2
1
60°
π/3
½√3
½
√3
90°
π/2
1
0
-
180°
π
0
-1
0
270°
3π/2
-1
0
-
360°
2π
0
1
0
Op het examen wordt ALTIJD gewerkt met radialen, tenzij anders vermeld!
Zet je GR in RADIAN-mode!
Grafieken van Goniometrische Functies
De sinusfunctie f(x) = sin(x)
Periode: 2π
Amplitude: 1
Evenwichtsstand: y = 0
Bereik: [-1, 1]
Nulpunten: x = k·π (k geheel)
Maximum: (½π + 2kπ, 1)
Minimum: (³⁄₂π + 2kπ, -1)
De cosinusfunctie f(x) = cos(x)
Periode: 2π
Amplitude: 1
Evenwichtsstand: y = 0
Bereik: [-1, 1]
Nulpunten: x = ½π + k·π (k geheel)
Maximum: (2kπ, 1)
Minimum: (π + 2kπ, -1)
De tangensfunctie f(x) = tan(x)
Periode: π
Bereik: ℝ (alle reële getallen)
Nulpunten: x = k·π (k geheel)
Verticale asymptoten: x = ½π + k·π
Puntymmetrisch in (kπ, 0)
Verband sin, cos en tan
tan(x) = sin(x) / cos(x)
Het Sinusmodel (Sinusoïde)
Algemene vorm sinusmodel
f(x) = d + a · sin(b(x - c))f(x) = d + a · cos(b(x - c))
Parameter
Betekenis
Effect
a
Amplitude
Hoogte van de golf (|a|)
b
Gerelateerd aan periode
Periode = 2π/|b|
c
Fase-verschuiving
Horizontale verschuiving
d
Evenwichtsstand
Verticale verschuiving
Sinusmodel opstellen
d bepalen: d = (max + min) / 2 = evenwichtsstand
a bepalen: |a| = (max - min) / 2 = amplitude
b bepalen: b = 2π / periode
c bepalen: Kijk waar de sinusoïde "begint" (bij sin: nuldoorgang stijgend, bij cos: maximum)
Voorbeeld: temperatuur
De temperatuur T varieert tussen 5°C en 25°C met een periode van 24 uur. Om 6:00 is de temperatuur minimaal.
d = (25 + 5)/2 = 15
a = (25 - 5)/2 = 10, maar -10 (want minimum in t=6)
b = 2π/24 = π/12
c = 6 (minimum bij t = 6)
T(t) = 15 - 10·cos(π/12·(t - 6))
Harmonische trilling
Een harmonische trilling is een sinusoïde die een fysische trilling beschrijft.
Trillingstijd T: de periode (tijd voor één volledige trilling)
Frequentie f: aantal trillingen per seconde: f = 1/T (in Hz)
Verband: b = 2πf = 2π/T
Symmetrie-eigenschappen
Symmetrie van sin en cos
Eigenschap
Formule
sin is oneven
sin(-x) = -sin(x)
cos is even
cos(-x) = cos(x)
Complementair
sin(x) = cos(½π - x)
Complementair
cos(x) = sin(½π - x)
Verschuiving
sin(x + ½π) = cos(x)
Verschuiving
cos(x - ½π) = sin(x)
Half periode sin
sin(x + π) = -sin(x)
Half periode cos
cos(x + π) = -cos(x)
Ezelsbruggetje:
De cosinusgrafiek is de sinusgrafiek ½π naar links verschoven.
cos(x) = sin(x + ½π)
Goniometrische Formules - OP HET EXAMEN!
De som-, verschil- en verdubbelingsformules staan op het examen!
Je hoeft ze niet uit je hoofd te kennen, maar wel te kunnen TOEPASSEN.