Wiskunde B VWO - Domein B: Functies, Grafieken en Vergelijkingen

📐 Dit is Wiskunde B - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

Antwoord EXACT laten staan (√, π, ln, e)
ALLE tussenstappen opschrijven
Algebraïsch oplossen (met letters)
GR alleen voor CONTROLE
Breuken versimpelen, niet decimaal

❌ NIET doen

Afronden naar decimalen (2,65 i.p.v. √7)
GR gebruiken voor eindantwoord
Tussenstappen overslaan
π ≈ 3,14 invullen

⚠️ DE #1 FOUT: Afronden bij "exact"!
Als er staat "bereken exact" of "bereken algebraïsch", dan mag je antwoord GEEN kommagetal zijn!
❌ 2,65 → ✅ √7 | ❌ 0,693 → ✅ ln(2) | ❌ 3,14 → ✅ π

De Exact-Checklist (Lees dit EERST!)

Dit is de #1 reden waarom leerlingen punten verliezen!
Bij "bereken exact" of "bereken algebraïsch" mag je de GR NIET gebruiken voor het eindantwoord. Laat je antwoord in exacte vorm staan!

Wanneer NIET afronden?

Type	FOUT (afgerond)	GOED (exact)
Wortels	2,65	√7
Breuken	0,33...	⅓
Logaritmen	0,693...	ln(2)
Pi (π)	3,14...	π of 2π
e-machten	7,389...	e²

Vuistregel: Als je antwoord een "mooie" wortel, breuk, ln, of π bevat, laat het dan zo staan. Rond alleen af als er expliciet staat "geef je antwoord in 2 decimalen" of als de context praktisch is (bijv. meters, euro's).

GR-Strategie: Wanneer wel, wanneer niet?

GR NIET gebruiken bij:

"Bereken exact" → Algebraïsch, antwoord met √, ln, π, e mag
"Bereken algebraïsch" → Tussenstappen tonen, geen GR-commando's
"Bewijs dat" → Exacte redenering vereist
"Toon aan dat" → Wiskundige afleiding nodig
"Leid af" → Met de hand differentiëren/afleiden

GR WEL gebruiken bij:

"Bereken..." (zonder "exact" of "algebraïsch")
"Bepaal..." of "Geef..."
Controle van je handmatige berekeningen
Grafieken schetsen en snijpunten aflezen

BELANGRIJK: Als je de GR gebruikt, schrijf dan op:

Welke functies je hebt ingevoerd: Y1 = ..., Y2 = ...
Welke optie je hebt gebruikt (intersect, maximum, zero, etc.)
Het eindantwoord

B1: Formules en Functies

Wanneer is een verband een functie?

De Gouden Regel:
Een verband is een functie als bij elke x-waarde precies één y-waarde hoort.

Verticale lijntest: Trek een verticale lijn door de grafiek. Snijdt deze de grafiek op meer dan één punt? Dan is het GEEN functie!

Notaties

Functienotaties

f(x) = ... - Functienotatie
y = ... - Vergelijkingsnotatie
x → ... - Pijlnotatie
x_P - x-coördinaat van punt P
y_P - y-coördinaat van punt P

Formules herschrijven

Bij het herschrijven van een formule tot functievoorschrift moet je de afhankelijke variabele isoleren (alleen aan één kant van het =-teken krijgen).

B2: Standaardfuncties - CRUCIAAL!

Je moet ALLE standaardfuncties herkennen aan hun formule EN grafiek, en hun karakteristieke eigenschappen kennen!

1. Machtsfuncties

Algemene vorm

f(x) = x^p

waarbij p een rationaal getal is (breuk of geheel getal)

Type	Voorbeeld	Domein	Eigenschappen
p > 1 (geheel, even)	x², x⁴	ℝ	Parabool, symmetrisch in y-as
p > 1 (geheel, oneven)	x³, x⁵	ℝ	Puntymmetrisch in O
p = ½	√x	x ≥ 0	Wortelfunctie, stijgend
p = -1	1/x	x ≠ 0	Hyperbool, asymptoten x=0 en y=0

2. Exponentiële functies

Algemene vorm

f(x) = a^x of f(x) = b · g^x

g = grondtal (g > 0, g ≠ 1)
b = beginwaarde
Als g > 1: groei (stijgend)
Als 0 < g < 1: verval (dalend)
Horizontale asymptoot: y = 0

Groeifactor en groeipercentage

Groeifactor g = 1,05 → groei van 5%
Groeifactor g = 0,92 → afname van 8%
Verdubbelingstijd: g^t = 2 → t = log(2)/log(g)
Halveringstijd: g^t = 0,5 → t = log(0,5)/log(g)

3. Logaritmische functies

Algemene vorm

f(x) = ^glog(x)

Domein: x > 0
Bereik: ℝ
Verticale asymptoot: x = 0
Snijpunt x-as: (1, 0)

Rekenregels logaritmen - PARAAT KENNEN!

^glog(a) + ^glog(b) = ^glog(a·b)
^glog(a) - ^glog(b) = ^glog(a/b)
^glog(a^p) = p · ^glog(a)
^glog(a) = ln(a)/ln(g) = log(a)/log(g)

Logaritmen op de GR (TI-84):

log(x) = ¹⁰log(x)
ln(x) = ^elog(x) = natuurlijke logaritme
^glog(x) = log(x)/log(g) of ln(x)/ln(g)

4. Absolute-waarde functie

Definitie

f(x) = |x|

|x| = x als x ≥ 0
|x| = -x als x < 0
Grafiek: V-vorm met top in (0,0)

Karakteristieke eigenschappen van functies

Eigenschap	Betekenis
Domein	Alle x-waarden waarvoor f(x) bestaat
Bereik	Alle mogelijke functiewaarden
Nulpunt	x-waarde waar f(x) = 0
Maximum/Minimum	Hoogste/laagste functiewaarde
Stijgen/Dalen	f neemt toe/af bij toenemende x
Toenemend/Afnemend stijgen	Hellingsverandering (concaaf/convex)

Karakteristieke eigenschappen van grafieken

Eigenschap	Bepalen via
Snijpunt x-as	Los f(x) = 0 op
Snijpunt y-as	Bereken f(0)
Top (extreem)	Los f'(x) = 0 op
Buigpunt	Los f''(x) = 0 op
Asymptoot	Limietgedrag onderzoeken

B3: Transformaties van Grafieken

Translaties (verschuivingen)

Van f(x) naar...	Effect op grafiek
f(x) + c	c omhoog (c > 0) of omlaag (c < 0)
f(x - c)	c naar rechts (LET OP: min-teken!)
f(x + c)	c naar links

Horizontale verschuiving werkt "tegengesteld":
f(x - 3) verschuift 3 naar RECHTS, niet naar links!
Ezelsbruggetje: "Min naar rechts, plus naar links"

Vermenigvuldigingen (rekken/samentrekken)

Van f(x) naar...	Effect op grafiek
c · f(x)	Verticaal rekken (c > 1) of samentrekken (0 < c < 1)
-f(x)	Spiegelen in x-as
f(cx)	Horizontaal samentrekken (c > 1) of rekken (0 < c < 1)
f(-x)	Spiegelen in y-as

Samengestelde functies (kettingen)

Compositie van functies

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Eerst g toepassen, daarna f!

Voorbeeld ketting

Als f(x) = x² en g(x) = 2x + 1, dan:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x+1) = (2x+1)²
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = 2x² + 1

Let op: f ∘ g ≠ g ∘ f in het algemeen!

De Kettingregel-Valkuil (Veelgemaakte fout!)

Bij het differentiëren van samengestelde functies vergeten veel leerlingen de afgeleide van de binnenste functie!

Visueel Schema: Kettingregel

f(x) = √(2x² + 5)

Stap 1: Identificeer de "schillen"

√(2x² + 5)

■ Buitenste: √u = u^(½)
■ Binnenste: u = 2x² + 5

Stap 2: Differentieer BEIDE!

Afgeleide buitenste: ½ · u^(-½) = 1/(2√u)
Afgeleide binnenste: 4x ← NIET VERGETEN!

Stap 3: Vermenigvuldigen

f'(x) = 1/(2√(2x²+5)) · 4x = 4x / (2√(2x²+5)) = 2x / √(2x²+5)

Meer voorbeelden kettingregel

Functie	Buitenste	Binnenste	Afgeleide
sin(3x)	sin(u)	u = 3x	cos(3x) · 3
e^(x²)	e^u	u = x²	e^(x²) · 2x
ln(x³+1)	ln(u)	u = x³+1	1/(x³+1) · 3x²
(2x+3)⁵	u⁵	u = 2x+3	5(2x+3)⁴ · 2

Ezelsbruggetje: "Schil voor schil differentiëren" - elke laag van de ui apart, dan alles vermenigvuldigen!

Parameters in functievoorschriften

Een parameter is een "constante variabele" - een letter die voor een vaste maar onbekende waarde staat.

Voorbeeld: f(x) = ax² + bx + c beschrijft een familie van parabolen.
Voor elke keuze van a, b en c krijg je een specifieke parabool.

B4: Inverse Functies

De inverse functie f^-1 "draait de functie om":
Als f(a) = b, dan f^-1(b) = a

Grafisch: De grafiek van f^-1 is de spiegeling van f in de lijn y = x.

Een functie heeft ALLEEN een inverse als de functie één-op-één is (injectief):
Bij elke y-waarde hoort hoogstens één x-waarde.

Inverse opstellen - 3 stappen

Schrijf y = f(x)

Los x op uit de vergelijking (schrijf x = ... met y erin)

Verwissel x en y → dit is f^-1(x)

Voorbeeld: inverse van f(x) = 2x + 3

y = 2x + 3
y - 3 = 2x → x = (y - 3)/2
f^-1(x) = (x - 3)/2

Bekende inverse paren

Functie	Inverse
f(x) = xⁿ	f^-1(x) = ⁿ√x
f(x) = a^x	f^-1(x) = ^alog(x)
f(x) = e^x	f^-1(x) = ln(x)
f(x) = ^alog(x)	f^-1(x) = a^x

B5: Vergelijkingen en Ongelijkheden

Lineaire vergelijkingen

Standaardvorm

ax + b = c → x = (c - b)/a

Kwadratische vergelijkingen

ABC-formule - PARAAT!

ax² + bx + c = 0 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

D = b² - 4ac (discriminant)
D > 0: twee oplossingen
D = 0: één oplossing (raakpunt)
D < 0: geen oplossingen

Machtsvergelijkingen

Oplossen van xⁿ = c

n oneven: x = ⁿ√c (altijd 1 oplossing)
n even en c > 0: x = ±ⁿ√c (2 oplossingen)
n even en c = 0: x = 0 (1 oplossing)
n even en c < 0: geen oplossing

Exponentiële vergelijkingen

Isoleer de exponentiële term: g^x = c

Neem de logaritme: x = ^glog(c)

Bereken: x = log(c)/log(g) of ln(c)/ln(g)

Logaritmische vergelijkingen

Isoleer de logaritme: ^glog(x) = c

Herschrijf naar exponentiële vorm: x = g^c

Bij logaritmische vergelijkingen: controleer ALTIJD of je oplossing in het domein ligt!
^glog(x) bestaat alleen voor x > 0!

Stelsels van vergelijkingen

Twee methoden

Substitutie: Los één variabele op en vul in de andere vergelijking in
Eliminatie: Tel/trek vergelijkingen op om een variabele te elimineren

Ongelijkheden oplossen

Grafisch oplossen op de GR:

Teken beide functies (Y1 en Y2)
Bepaal snijpunten (CALC → intersect)
Lees af waar Y1 > Y2 of Y1 < Y2

Bij vermenigvuldigen/delen van een ongelijkheid met een negatief getal: draai het ongelijkheidsteken om!

B6: Asymptoten en Limietgedrag

Limietnotatie

Notaties

lim_x→∞ f(x) - limiet als x naar oneindig gaat
lim_x→-∞ f(x) - limiet als x naar min oneindig gaat
lim_x→a f(x) - limiet als x naar a gaat
lim_x↓a f(x) - rechterlimiet (van rechts naar a)
lim_x↑a f(x) - linkerlimiet (van links naar a)

Horizontale asymptoot

Een horizontale asymptoot y = L bestaat als:
lim_x→∞ f(x) = L of lim_x→-∞ f(x) = L

Horizontale asymptoot van breukfuncties:
Vergelijk de hoogste macht in teller en noemer:

Macht teller < macht noemer → y = 0
Macht teller = macht noemer → y = (coëfficiënt teller)/(coëfficiënt noemer)
Macht teller > macht noemer → geen horizontale asymptoot

Verticale asymptoot

Een verticale asymptoot x = a bestaat als:
lim_x↓a f(x) = ±∞ of lim_x↑a f(x) = ±∞

Vaak bij nulpunten van de noemer van een breukfunctie!

Scheve asymptoot

Als de macht van de teller precies 1 hoger is dan de macht van de noemer, is er een scheve asymptoot.

Bepalen: Voer de staartdeling uit. De scheve asymptoot is het quotiënt (zonder de rest).

Voorbeeld scheve asymptoot

f(x) = (x² + 2x + 1)/(x - 1)

Staartdeling: x² + 2x + 1 = (x - 1)(x + 3) + 4

Dus f(x) = x + 3 + 4/(x-1)

Scheve asymptoot: y = x + 3

Perforatie (gat in de grafiek)

Als teller en noemer een gemeenschappelijke factor hebben, ontstaat een perforatie (gat), GEEN verticale asymptoot!

Voorbeeld: f(x) = (x² - 1)/(x - 1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x + 1 met een gat bij x = 1

Signaalwoorden op het Examen

"Bereken exact"

Geen GR! Algebraïsch oplossen, antwoord mag √ of π bevatten

"Bereken algebraïsch"

Geen GR! Tussenstappen laten zien, afronden mag

"Toon aan dat"

Werk naar de gegeven uitkomst toe

"Bewijs dat"

Exacte redenering vereist, geen GR

"Onderzoek of"

Controleer en geef conclusie met onderbouwing

"Beredeneer"

Leg denkstappen uit, niet alleen het antwoord

"Stel op"

Maak een formule/vergelijking die aan de voorwaarden voldoet

"Schets"

Globale vorm met juiste karakteristieken

"Teken"

Nauwkeurig met assenstelsel en schaalverdeling