Domein E

Meetkunde met coördinaten

Vectoren, lijnen, cirkels en parametervoorstellingen - ~20% van het CE

📐 Dit is Wiskunde B - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

Antwoord EXACT laten staan (√, π, ln, e)
ALLE tussenstappen opschrijven
Algebraïsch oplossen (met letters)
GR alleen voor CONTROLE
Breuken versimpelen, niet decimaal

❌ NIET doen

Afronden naar decimalen (2,65 i.p.v. √7)
GR gebruiken voor eindantwoord
Tussenstappen overslaan
π ≈ 3,14 invullen

⚠️ DE #1 FOUT: Afronden bij "exact"!
Als er staat "bereken exact" of "bereken algebraïsch", dan mag je antwoord GEEN kommagetal zijn!
❌ 2,65 → ✅ √7 | ❌ 0,693 → ✅ ln(2) | ❌ 3,14 → ✅ π

Signaalwoorden in examenvragen

Let op deze termen die aangeven wat je moet doen:

algebraïsch exact bewijs dat toon aan dat loodrecht evenwijdig snijpunten parametervoorstelling vergelijking van de lijn inproduct afstand hoek tussen

Vector Commando's - Snelle Referentie

Dit zijn de 5 belangrijkste vectoroperaties die je PARAAT moet hebben:

Wat je wilt	Formule	Wanneer gebruiken
Lengte vector	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$	"Bereken de afstand/lengte"
Inproduct	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$	"Hoek tussen", "loodrecht?"
Hoek berekenen	$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$	"Bereken de hoek tussen..."
Loodrecht?	$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$	"Toon aan dat ... loodrecht"
Evenwijdig?	$a_x b_y - a_y b_x = 0$	"Toon aan dat ... evenwijdig"

Bewijsstructuur voor Vectorvragen

"Bewijs dat de lijnen loodrecht staan"

Bepaal de richtingsvectoren $\vec{r}_1$ en $\vec{r}_2$ van beide lijnen
Bereken het inproduct: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2$
Laat zien dat dit gelijk is aan 0
Schrijf: "Omdat $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$, staan de lijnen loodrecht op elkaar."

"Bewijs dat de lijnen evenwijdig zijn"

Bepaal de richtingsvectoren $\vec{r}_1$ en $\vec{r}_2$
Laat zien dat $\vec{r}_1 = k \cdot \vec{r}_2$ voor een zekere $k$
Of: bereken $a_x b_y - a_y b_x$ en laat zien dat dit 0 is
Schrijf: "Omdat de vectoren veelvouden van elkaar zijn, zijn de lijnen evenwijdig."

E1: Vectoren

Wat is een vector?

Een vector is een pijl met een grootte (lengte) en een richting. In het vlak schrijven we een vector als:

Vectornotatie

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = v_x \vec{e}_x + v_y \vec{e}_y$$

waarbij $v_x$ en $v_y$ de componenten zijn in de x- en y-richting.

Rekenen met vectoren

Basisoperaties

Operatie	Formule
Optellen	$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}$
Aftrekken	$\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}$
Scalaire vermenigvuldiging	$k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix}$
Lengte (norm)	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Vector tussen twee punten

Plaatsvector en verschilvector

$$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$

De vector van punt A naar punt B bereken je door de plaatsvector van B te verminderen met die van A.

Tip: Van A naar B

Onthoud: $\overrightarrow{AB}$ = "eindpunt minus beginpunt" = $\vec{b} - \vec{a}$. De vector "wijst" van A naar B.

E2: Inproduct

Inproduct (scalair product)

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$$

Het inproduct is een getal (geen vector!) en kan positief, nul of negatief zijn.

Hoek tussen vectoren

Hoek berekenen met inproduct

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Bereken het inproduct: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Bereken de lengtes: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$ en $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Deel: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Gebruik $\cos^{-1}$ om de hoek te vinden

Loodrechtheid

Loodrechte vectoren

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun inproduct gelijk is aan nul.

Let op bij loodrechtheid

Als $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, dan staan de vectoren loodrecht op elkaar (hoek = 90°). Dit is een veelgebruikt criterium bij bewijzen!

Evenwijdigheid

Evenwijdige vectoren

$$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k \cdot \vec{b} \text{ voor zekere } k \in \mathbb{R}$$

Alternatief: $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow a_x b_y - a_y b_x = 0$ (determinant = 0)

E3: Lijnen in het vlak

Vergelijkingsvormen van een lijn

Verschillende lijnvergelijkingen

Vorm	Vergelijking	Wanneer gebruiken
Expliciet (rico)	$y = ax + b$	Standaardvorm, tekenen
Algemeen	$ax + by + c = 0$	Normaalvector, afstand
Parameter	$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}$	Vectormeetkunde, snijpunten

Parametervoorstelling van een lijn

Lijn door punt P met richtingsvector $\vec{r}$

$$\ell: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix}$$

Of in losse vergelijkingen: $x = p_x + t \cdot r_x$ en $y = p_y + t \cdot r_y$

Voorbeeld: Lijn door twee punten

Gegeven: A(2, 3) en B(5, -1). Stel de parametervoorstelling op.

Kies steunpunt: $\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Bepaal richtingsvector: $\vec{r} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Schrijf op: $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Normaalvector

Normaalvector van een lijn

De normaalvector $\vec{n}$ staat loodrecht op de richtingsvector $\vec{r}$.

$$\text{Als } \vec{r} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \text{ dan } \vec{n} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \text{ of } \vec{n} = \begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$$

Bij de algemene vergelijking $ax + by + c = 0$ is $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Loodrechte lijnen

Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als:

Hun richtingsvectoren loodrecht staan: $\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$
Het product van de richtingscoëfficiënten is -1: $a_1 \cdot a_2 = -1$

Evenwijdige lijnen

Twee lijnen zijn evenwijdig als:

Hun richtingsvectoren evenwijdig zijn: $\vec{r}_1 = k \cdot \vec{r}_2$
Ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben: $a_1 = a_2$

E4: Afstand punt tot lijn

Afstandsformule

De afstand van punt P($x_0, y_0$) tot de lijn $ax + by + c = 0$:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Stappenplan: Afstand punt tot lijn

Schrijf de lijn in de vorm $ax + by + c = 0$

Vul de coördinaten van het punt in voor x en y

Neem de absolute waarde van de teller

Deel door de lengte van de normaalvector: $\sqrt{a^2 + b^2}$

Voorbeeld: Afstand berekenen

Bereken de afstand van P(3, 5) tot de lijn $4x - 3y + 2 = 0$.

$d = \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot 5 + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 15 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{|-1|}{5} = \frac{1}{5}$

E5: Cirkels

Cirkelvergelijking

Standaardvorm

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r.

Algemene vorm

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Middelpunt: $M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$, Straal: $r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

Van algemeen naar standaard (kwadraat afsplitsen)

Groepeer x-termen en y-termen: $(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$

Splits kwadraat af voor x: voeg $\left(\frac{D}{2}\right)^2$ toe aan beide kanten

Splits kwadraat af voor y: voeg $\left(\frac{E}{2}\right)^2$ toe aan beide kanten

Schrijf als $(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = r^2$

Uitgewerkt Voorbeeld: Kwadraatafsplitsen

Gegeven: $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

Gevraagd: Schrijf in standaardvorm en bepaal middelpunt en straal.

Stap 1: Groepeer x-termen en y-termen

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 0$

Stap 2: Splits kwadraat af voor x

Bij $x^2 + 4x$ nemen we de helft van 4, dat is 2

We voegen $2^2 = \color{#22c55e}{4}$ toe aan beide kanten:

$(x^2 + 4x \color{#22c55e}{+ 4}) + (y^2 - 6y) = 0 \color{#22c55e}{+ 4}$

Stap 3: Splits kwadraat af voor y

Bij $y^2 - 6y$ nemen we de helft van -6, dat is -3

We voegen $(-3)^2 = \color{#22c55e}{9}$ toe aan beide kanten:

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y \color{#22c55e}{+ 9}) = 4 \color{#22c55e}{+ 9}$

Stap 4: Schrijf als kwadraten

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

Antwoord:

Middelpunt: M(-2, 3) ← let op de tekens!
Straal: $r = \sqrt{13}$ ← exact laten staan!

Veelgemaakte fout bij kwadraatafsplitsen

Tekenfout middelpunt: Bij $(x + 2)^2$ is het middelpunt $x = \color{#ef4444}{-2}$, niet +2!
Vergeten aan beide kanten toe te voegen: Je moet ALTIJD dezelfde waarde aan beide kanten toevoegen
Straal kwadrateren: In de standaardvorm staat $r^2$, niet $r$. Bij $= 13$ is $r = \sqrt{13}$

Snijpunten lijn en cirkel

Stappenplan: Snijpunten bepalen

Los y (of x) op uit de lijnvergelijking

Substitueer in de cirkelvergelijking

Los de kwadratische vergelijking op

Bereken de bijbehorende y-waarden (of x-waarden)

Aantal snijpunten (discriminant)

$D > 0$: twee snijpunten (lijn snijdt cirkel)
$D = 0$: één raakpunt (lijn raakt cirkel)
$D < 0$: geen snijpunten (lijn mist cirkel)

Raaklijn aan cirkel

Raaklijn door punt op de cirkel

De raaklijn aan cirkel $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ in punt P($x_0, y_0$) op de cirkel:

$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$$

De raaklijn staat loodrecht op de straal MP.

Tip: Raaklijn vinden

Alternatieve methode: De richtingsvector van de raaklijn is loodrecht op $\overrightarrow{MP}$. Als $\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, dan is de richting van de raaklijn $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.

E6: Parametervoorstellingen

Cirkel met parameters

Parametervoorstelling van een cirkel

$$\begin{cases} x = a + r\cos(t) \\ y = b + r\sin(t) \end{cases} \quad 0 \leq t < 2\pi$$

Cirkel met middelpunt (a, b) en straal r. Parameter t is de hoek in radialen.

Ellips met parameters

Parametervoorstelling van een ellips

$$\begin{cases} x = a\cos(t) \\ y = b\sin(t) \end{cases} \quad 0 \leq t < 2\pi$$

Ellips met halve assen a (horizontaal) en b (verticaal), middelpunt in de oorsprong.

Cartesische vergelijking: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Elimineren van de parameter

Stappenplan: Van parameter naar cartesisch

Los t op uit een van de parametervergelijkingen (bijv. $t = \frac{x - a}{r}$)

Substitueer in de andere vergelijking

Of: gebruik $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$ bij cirkel/ellips

Voorbeeld: Elimineren

Gegeven: $x = 2\cos(t)$, $y = 3\sin(t)$

Dan: $\cos(t) = \frac{x}{2}$ en $\sin(t) = \frac{y}{3}$

Gebruik $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ (ellips)

E7: Grafische Rekenmachine (TI-84)

GR-functies voor meetkunde

Actie	Toetsen/Menu
Lijn tekenen	`Y=` → voer y = ax + b in
Cirkel tekenen	`2nd` → `DRAW` → `Circle(`
Snijpunt vinden	`2nd` → `CALC` → `intersect`
Afstand tussen punten	Bereken: $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Parametrisch tekenen	`MODE` → `PAR` → `Y=` voor X(T) en Y(T)

Tip: Parametrische modus

Zet de GR in parametrische modus (MODE → PAR) om parametervoorstellingen te tekenen. Let op het venster: T gaat meestal van 0 tot 2π voor gesloten krommen.

Meetkundige Basisvaardigheden

Stelling van Pythagoras

Pythagoras

$$a^2 + b^2 = c^2$$

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

Afstand tussen twee punten

Afstandsformule

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Dit is een directe toepassing van Pythagoras in het coördinatenstelsel.

Midden van een lijnstuk

Middenformule

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Het midden is het gemiddelde van de x-coördinaten en het gemiddelde van de y-coördinaten.

Samenvatting Belangrijke Formules

Formuleoverzicht Domein E

Concept	Formule
Lengte vector	$\|\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
Inproduct	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$
Hoek via inproduct	$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$
Loodrecht criterium	$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
Afstand punt-lijn	$d = \frac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cirkel standaard	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
Afstand twee punten	$\|AB\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$
Midden lijnstuk	$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Veelgemaakte fouten

Vector verkeerd om: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, niet $\vec{a} - \vec{b}$
Inproduct met cos: Vergeet niet dat $\cos^{-1}$ een hoek tussen 0° en 180° geeft
Kwadraat afsplitsen: Voeg aan beide kanten van de vergelijking hetzelfde toe
Normaalvector verwarren: Bij $ax + by + c = 0$ is $\vec{n} = (a, b)$, niet $(b, a)$
Afstandsformule teller: Vergeet de absolute waarde niet!
Cirkelstraal: In $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ staat $r^2$, niet $r$

Wat je wilt	Formule	Wanneer gebruiken
Lengte vector	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)	"Bereken de afstand/lengte"
Inproduct	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)	"Hoek tussen", "loodrecht?"
Hoek berekenen	\(\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}\)	"Bereken de hoek tussen..."
Loodrecht?	\(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)	"Toon aan dat ... loodrecht"
Evenwijdig?	\(a_x b_y - a_y b_x = 0\)	"Toon aan dat ... evenwijdig"

Operatie	Formule
Optellen	\(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}\)
Aftrekken	\(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}\)
Scalaire vermenigvuldiging	\(k \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_x \\ k \cdot a_y \end{pmatrix}\)
Lengte (norm)	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)

Vorm	Vergelijking	Wanneer gebruiken
Expliciet (rico)	\(y = ax + b\)	Standaardvorm, tekenen
Algemeen	\(ax + by + c = 0\)	Normaalvector, afstand
Parameter	\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\)	Vectormeetkunde, snijpunten

📐 Dit is Wiskunde B - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

❌ NIET doen

Signaalwoorden in examenvragen

Vector Commando's - Snelle Referentie

Bewijsstructuur voor Vectorvragen

E1: Vectoren

Wat is een vector?

Vectornotatie

Rekenen met vectoren

Basisoperaties

Vector tussen twee punten

Plaatsvector en verschilvector

Tip: Van A naar B

E2: Inproduct

Inproduct (scalair product)

Hoek tussen vectoren

Hoek berekenen met inproduct

Loodrechtheid

Loodrechte vectoren

Let op bij loodrechtheid

Evenwijdigheid

Evenwijdige vectoren

E3: Lijnen in het vlak

Vergelijkingsvormen van een lijn

Verschillende lijnvergelijkingen

Parametervoorstelling van een lijn

Lijn door punt P met richtingsvector \(\vec{r}\)

Voorbeeld: Lijn door twee punten

Normaalvector

Normaalvector van een lijn

Loodrechte lijnen

Loodrechte lijnen

Evenwijdige lijnen

Evenwijdige lijnen

E4: Afstand punt tot lijn

Afstandsformule

Stappenplan: Afstand punt tot lijn

Voorbeeld: Afstand berekenen

E5: Cirkels

Cirkelvergelijking

Standaardvorm

Algemene vorm

Van algemeen naar standaard (kwadraat afsplitsen)

Uitgewerkt Voorbeeld: Kwadraatafsplitsen

Veelgemaakte fout bij kwadraatafsplitsen

Snijpunten lijn en cirkel

Stappenplan: Snijpunten bepalen

Aantal snijpunten (discriminant)

Raaklijn aan cirkel

Raaklijn door punt op de cirkel

Tip: Raaklijn vinden

E6: Parametervoorstellingen

Cirkel met parameters

Parametervoorstelling van een cirkel

Ellips met parameters

Parametervoorstelling van een ellips

Elimineren van de parameter

Stappenplan: Van parameter naar cartesisch

Voorbeeld: Elimineren

E7: Grafische Rekenmachine (TI-84)

GR-functies voor meetkunde

Tip: Parametrische modus

Meetkundige Basisvaardigheden

Stelling van Pythagoras

Pythagoras

Afstand tussen twee punten

Afstandsformule

Midden van een lijnstuk

Middenformule

Samenvatting Belangrijke Formules

Formuleoverzicht Domein E

Veelgemaakte fouten