Wiskunde B VWO - Domein C: Differentiaal- en Integraalrekening

Beredeneer-zinnen voor Afgeleiden

Dit zijn de standaardzinnen die je moet gebruiken bij "beredeneer" en "verklaar" vragen. Leer ze uit je hoofd!

De 6 Gouden Beredeneer-zinnen

Wiskundige situatie	Beredeneer-zin
f'(x) > 0	"Als f'(x) > 0, dan is de grafiek van f stijgend op dat interval."
f'(x) < 0	"Als f'(x) < 0, dan is de grafiek van f dalend op dat interval."
f'(x) = 0 + tekenwisseling	"Als f'(x) = 0 en de afgeleide wisselt van teken, dan heeft f een extreem (top of dal)."
f''(x) = 0 + tekenwisseling	"Als f''(x) = 0 en de tweede afgeleide wisselt van teken, dan heeft f een buigpunt."
f''(x) > 0	"Als f''(x) > 0, dan is de grafiek convex (dalvorm) en stijgt f toenemend."
f''(x) < 0	"Als f''(x) < 0, dan is de grafiek concaaf (bergvorm) en stijgt f afnemend."

Bij een extremum aantonen, gebruik je:
"f'(a) = 0 en f''(a) < 0, dus f heeft een maximum in x = a."
"f'(a) = 0 en f''(a) > 0, dus f heeft een minimum in x = a."

NIET vergeten: f'(x) = 0 alleen is niet genoeg voor een extreem!
Voorbeeld: f(x) = x³ heeft f'(0) = 0, maar GEEN extreem in x = 0 (alleen een buigpunt).

Grenswaarden Beredeneren

Standaard-grenswaarden (uit je hoofd!)

Situatie	Grenswaarde	Beredeneer-zin
e^-x als x → ∞	→ 0	"Als x → ∞, dan e^-x → 0 (negatieve e-macht nadert nul)"
e^x als x → ∞	→ ∞	"Als x → ∞, dan e^x → ∞ (exponentiële groei)"
e^x als x → -∞	→ 0	"Als x → -∞, dan e^x → 0"
ln(x) als x → 0⁺	→ -∞	"Als x nadert tot 0 van rechts, dan ln(x) → -∞"
ln(x) als x → ∞	→ ∞	"Als x → ∞, dan ln(x) → ∞ (maar langzamer dan x)"
1/x als x → ∞	→ 0	"Als x → ∞, dan 1/x → 0"
1/x als x → 0⁺	→ ∞	"Als x nadert tot 0 van rechts, dan 1/x → ∞"

Horizontale Asymptoot via Grenswaarde

Voor breukfuncties: Deel teller én noemer door de hoogste macht van x in de noemer.

Voorbeeld

f(x) = (3x² + 2x) / (x² - 1)

Deel door x²: f(x) = (3 + 2/x) / (1 - 1/x²)

Als x → ∞: f(x) → (3 + 0) / (1 - 0) = 3

Horizontale asymptoot: y = 3

C1: Afgeleide Functies - Betekenis

Wat is de afgeleide?

De afgeleide f'(x) geeft de helling (steilheid) van de grafiek van f in elk punt.

f'(a) > 0 → grafiek stijgt bij x = a
f'(a) < 0 → grafiek daalt bij x = a
f'(a) = 0 → horizontale raaklijn (mogelijk extreem!)

Notaties voor de afgeleide

Verschillende notaties

f'(x) - Lagrange-notatie
dy/dx of df/dx - Leibniz-notatie
y' - verkorte notatie
f''(x) - tweede afgeleide
d²y/dx² - tweede afgeleide (Leibniz)

Hellinggrafiek

De hellinggrafiek is de grafiek van f'(x).
De y-waarde op de hellinggrafiek geeft de helling van f op die x-waarde.

Vergelijking van de raaklijn

Raaklijn in punt (a, f(a))

y = f'(a) · (x - a) + f(a)

Of in de vorm y = mx + c met m = f'(a)

Bereken f(a) - dit is het y-coördinaat van het raakpunt

Bereken f'(a) - dit is de richtingscoëfficiënt m

Vul in: y = f'(a) · (x - a) + f(a)

Extremen bepalen

Stappen voor extremen

Los f'(x) = 0 op → kandidaat-extremen

Controleer tekenverloop van f' OF bereken f''(x)

f''(x) < 0 → maximum, f''(x) > 0 → minimum

f'(x) = 0 betekent NIET automatisch dat er een extreem is!
Controleer ALTIJD met tekenverloop of tweede afgeleide.
Voorbeeld: f(x) = x³ heeft f'(0) = 0 maar GEEN extreem in x = 0!

Tweede afgeleide - Toenemend/Afnemend

f''(x) > 0 → f' stijgt → grafiek is convex (dalvorm, toenemend stijgen/afnemend dalen)
f''(x) < 0 → f' daalt → grafiek is concaaf (bergvorm, afnemend stijgen/toenemend dalen)
f''(x) = 0 → mogelijk buigpunt

Buigpunten

Los f''(x) = 0 op

Controleer of f'' van teken wisselt rond deze x-waarde

Bereken de y-coördinaat: f(x)

Van grafiek f naar grafiek f' (en omgekeerd)

Als f...	Dan f'...
stijgt	positief (boven x-as)
daalt	negatief (onder x-as)
horizontale raaklijn heeft	snijdt x-as (nulpunt)
toenemend stijgt	stijgt
afnemend stijgt	daalt (maar nog positief)
buigpunt heeft	extreem heeft

C2: Differentiatieregels - PARAAT!

Basisafgeleiden

Afgeleiden van standaardfuncties

f(x)	f'(x)
c (constante)	0
xⁿ	n·x^n-1
√x = x^½	½·x^-½ = 1/(2√x)
1/x = x^-1	-x^-2 = -1/x²
e^x	e^x
a^x	a^x · ln(a)
ln(x)	1/x
^alog(x)	1/(x · ln(a))
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1/cos²(x)

Somregel en Verschilregel

(f + g)' = f' + g' (f - g)' = f' - g' (c · f)' = c · f'

Productregel

Als h(x) = f(x) · g(x)

h'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

Ezelsbruggetje: "Eerste afgeleide keer tweede + eerste keer tweede afgeleide"

Voorbeeld productregel

h(x) = x² · sin(x)

f(x) = x², f'(x) = 2x

g(x) = sin(x), g'(x) = cos(x)

h'(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x)

Quotiëntregel

Als h(x) = f(x) / g(x)

h'(x) = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / [g(x)]²

Ezelsbruggetje: "NAT - TAN door N kwadraat" (Noemer × Afgeleide Teller - Teller × Afgeleide Noemer)

Kettingregel - HEEL BELANGRIJK!

Als h(x) = f(g(x)) - samengestelde functie

h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

"Buitenste afgeleide × binnenste afgeleide"

Voorbeelden kettingregel

h(x)	Buitenste f	Binnenste g	h'(x)
(3x+2)⁵	u⁵	3x+2	5(3x+2)⁴ · 3 = 15(3x+2)⁴
√(x²+1)	√u	x²+1	1/(2√(x²+1)) · 2x = x/√(x²+1)
sin(2x)	sin(u)	2x	cos(2x) · 2 = 2cos(2x)
e^3x	e^u	3x	e^3x · 3 = 3e^3x
ln(x²)	ln(u)	x²	1/x² · 2x = 2/x

De kettingregel vergeten is de #1 fout bij differentiëren!
Bij ELKE samengestelde functie: vermenigvuldig met de afgeleide van het binnenste!

🎯 De U-Methode - Stap voor Stap (met kleuren!)

Strategie: Noem het "binnenste" altijd u, dan wordt de kettingregel simpel!

Voorbeeld: Differentieer h(x) = (3x + 2)⁵

1

Identificeer de binnenste functie:
u = 3x + 2

2

Schrijf h(x) met u:
h = u⁵

3

Neem de afgeleide van de buitenste (naar u):
dh/du = 5u⁴

4

Neem de afgeleide van de binnenste (naar x):
du/dx = 3

5

VERMENIGVULDIG (dit is de kettingregel!):
h'(x) = 5u⁴ × 3 = 15u⁴

6

Vervang u terug:
h'(x) = 15(3x + 2)⁴ ✓

✓ Herken "binnenste"

Alles tussen haakjes: (3x+2)⁵
Onder een wortel: √(x²+1)
In sin/cos: sin(2x)
In de exponent: e^3x
In ln: ln(x²)

✗ Veelgemaakte fout

FOUT: (3x+2)⁵ → 5(3x+2)⁴
Vergeten te vermenigvuldigen met 3!

GOED: (3x+2)⁵ → 5(3x+2)⁴ × 3 = 15(3x+2)⁴

Kettingregel Mantra: "Buitenste afgeleide MAAL binnenste afgeleide"
Ezelsbruggetje: Buiten × Binnen = Antwoord

Combinaties van regels

Bij complexe functies moet je vaak meerdere regels combineren.
Strategie:

Herken de buitenste bewerking (som/product/quotiënt/ketting)
Pas de bijbehorende regel toe
Werk de afzonderlijke afgeleiden uit (mogelijk weer met regels)

Afgeleide controleren op de GR (TI-84):

nDeriv( - numerieke afgeleide: nDeriv(Y1, X, waarde)
dy/dx - via CALC menu op de grafiek
Tangent( - tekent raaklijn: DRAW → Tangent

C3: Integraalrekening

Wat is een primitieve?

Een primitieve F(x) van f(x) is een functie waarvoor geldt: F'(x) = f(x)

Integreren is het "omgekeerde" van differentiëren!

Basisprimitieven

Primitieven van standaardfuncties

f(x)	F(x) (primitieve)
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x = x^-1	ln\|x\|
e^x	e^x
a^x	a^x/ln(a)
sin(x)	-cos(x)
cos(x)	sin(x)

Let op: Elke primitieve heeft een integratieconstante +C

Primitieven met kettingregel

Als f(x) = g(ax + b)

∫ g(ax + b) dx = G(ax + b) / a + C

waarbij G de primitieve van g is

Voorbeelden

∫ (2x + 3)⁴ dx = (2x + 3)⁵ / (5 · 2) + C = (2x + 3)⁵/10 + C
∫ sin(3x) dx = -cos(3x)/3 + C
∫ e^2x dx = e^2x/2 + C

Veelgemaakte Fouten bij Integreren

Top 5 Integratiefouten - Voorkom ze!

Foutentabel Integreren

Fout	FOUT	GOED
+C vergeten bij onbepaalde integraal	∫ 2x dx = x²	∫ 2x dx = x² + C
Correctiefactor vergeten bij e^ax+b	∫ e^3x dx = e^3x	∫ e^3x dx = e^3x/3 + C
Correctiefactor vergeten bij sin/cos(ax)	∫ cos(2x) dx = sin(2x)	∫ cos(2x) dx = sin(2x)/2 + C
Min-teken vergeten bij sin	∫ sin(x) dx = cos(x)	∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
1/x primitieve fout	∫ 1/x dx = -1/x²	∫ 1/x dx = ln\|x\| + C
Macht -1 speciaal geval	∫ x⁻¹ dx = x⁰/0 = ???	∫ x⁻¹ dx = ln\|x\| + C

Controletip: Differentieer je primitieve altijd even om te checken of je de oorspronkelijke functie terugkrijgt!
Als F(x) de primitieve is van f(x), dan moet F'(x) = f(x).

Correctiefactor-regels

Integraal	Primitieve	Let op
∫ e^ax+b dx	e^ax+b / a + C	Deel door coëfficiënt van x
∫ (ax+b)ⁿ dx	(ax+b)ⁿ⁺¹ / (a(n+1)) + C	Deel door a én door (n+1)
∫ sin(ax+b) dx	-cos(ax+b) / a + C	Min-teken + deel door a
∫ cos(ax+b) dx	sin(ax+b) / a + C	Deel door a
∫ 1/(ax+b) dx	ln\|ax+b\| / a + C	Deel door a

De bepaalde integraal

Hoofdstelling van de integraalrekening

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

waarbij F een primitieve van f is

Bepaal een primitieve F(x) van f(x)

Bereken F(b) - de waarde van F in de bovengrens

Bereken F(a) - de waarde van F in de ondergrens

Trek af: F(b) - F(a)

Oppervlakte berekenen

De bepaalde integraal geeft de netto oppervlakte (met teken)!
Voor de werkelijke oppervlakte moet je rekening houden met delen onder de x-as.

Oppervlakte vlakdeel

Tussen grafiek en x-as:

Opp = ∫_a^b |f(x)| dx

Tussen twee grafieken f en g (met f ≥ g):

Opp = ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx

Strategie voor oppervlakte:

Bepaal de grenzen (snijpunten met x-as of met elkaar)
Schets de situatie om te zien welke functie "boven" ligt
Splits indien nodig bij nulpunten
Neem de absolute waarde van negatieve delen

Inhoud omwentelingslichaam

Wentelen om de x-as

V = π · ∫_a^b [f(x)]² dx

Wentelen om de y-as

V = π · ∫_c^d [g(y)]² dy

waarbij g de inverse van f is (x als functie van y)

Integraalfunctie

F(x) als integraalfunctie

F(x) = ∫_a^x f(t) dt

Dan geldt: F'(x) = f(x)

F(x) geeft de "opgetelde oppervlakte" vanaf a tot x

Integreren op de GR (TI-84):

fnInt( - bepaalde integraal: fnInt(Y1, X, a, b)
∫f(x)dx - via CALC menu op de grafiek (optie 7)

Optimaliseringsproblemen

Bij optimalisering zoek je de maximum- of minimumwaarde van een grootheid.
Dit is een VEEL voorkomend vraagtype op het examen!

Stappenplan optimalisering

Stel de doelfunctie op: Schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele

Bepaal het domein: Welke waarden zijn zinvol/mogelijk?

Differentieer: Bereken f'(x)

Los f'(x) = 0 op: Vind kandidaat-extremen

Controleer: Is het een max of min? Ligt het in het domein?

Antwoord: Bereken de gevraagde grootheid

Vergeet niet de randpunten te controleren!
Op een begrensd domein kan het maximum/minimum ook op de rand liggen.

Typisch voorbeeld

"Van een rechthoek is de omtrek 20 cm. Welke afmetingen geven maximale oppervlakte?"

Omtrek: 2l + 2b = 20, dus b = 10 - l
Oppervlakte: A(l) = l · b = l(10 - l) = 10l - l²
A'(l) = 10 - 2l = 0 → l = 5
A''(l) = -2 < 0 → maximum
Antwoord: l = b = 5 cm (vierkant)

Signaalwoorden op het Examen

"Bereken exact"

Geen GR! Algebraïsch uitwerken

"Bereken algebraïsch"

Geen GR-functies, wel afronden

"Stel de vergelijking op van de raaklijn"

y = f'(a)(x - a) + f(a)

"Bepaal de extremen"

f'(x) = 0 oplossen + type bepalen

"Toon aan dat f een minimum heeft"

f'(x) = 0 + tekenverloop of f''(x) > 0

"Bereken de oppervlakte"

Integreren, let op onder/boven x-as

"Bereken de inhoud"

Omwentelingslichaam: π∫[f(x)]²dx

"Voor welke waarde van ... is ... maximaal"

Optimaliseringsprobleem

Domein C: Differentiaal- en Integraalrekening

📐 Dit is Wiskunde B - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

❌ NIET doen