Wiskunde A VWO - Domein E: Statistiek en Kansrekening (UITLEG)

📝 Zo schrijf je een "Beredeneer" antwoord (Statistiek)

Bij statistiekvragen moet je naar DATA en SPREIDING kijken!
Vergelijk gemiddelden, standaardafwijkingen, en leg uit wat het BETEKENT.

❌ FOUT antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de claim niet klopt."

"De p-waarde is klein."

Geen conclusie, geen context!

✅ GOED antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de claim niet klopt."

"De p-waarde is 0,02, wat kleiner is dan 0,05. Dit betekent dat we H₀ verwerpen. De claim dat het gemiddelde 50 is, wordt dus niet ondersteund door deze steekproef."

P-waarde + vergelijking + conclusie!

Hypothesetoets: De 4 stappen

1

H₀ en H₁: Schrijf de hypothesen op (H₀ = de claim, H₁ = het alternatief)

2

Bereken: Gebruik GR voor p-waarde (normalcdf of binomcdf)

3

Vergelijk: Is p-waarde < significantieniveau (vaak 0,05)?

4

Conclusie: In woorden! "We verwerpen H₀" of "We verwerpen H₀ niet"

Ezelsbruggetje: "Klein = Verwerpen"
p-waarde KLEIN (< 0,05) → H₀ VERWERPEN → Claim klopt waarschijnlijk NIET

⚠️ GR-Notatie Gids - Zo schrijf je je berekening op!

EXAMEN 2024/2025: Strikte controle op GR-notatie!
Je verliest punten als je niet opschrijft WELKE berekening je hebt gedaan. "Ik gebruik de GR" is NIET genoeg!

De Gouden Regel: Schrijf de VOLLEDIGE invoer op

❌ FOUT (0 punten)

"Met de GR vind ik P = 0,023"

"Ik gebruik normalcdf"

"Berekening: 0,023"

✅ GOED (volle punten)

"normalcdf(180, 10^99, 175, 4) = 0,1056"

"invNorm(0,95, 175, 4) = 181,6"

"binomcdf(20, 0.3, 4) = 0,2375"

Standaard GR-Notaties (kopieer dit formaat!)

Vraagtype	GR-Functie	Notatie op je examen
P(X < 180) bij N(175, 4)	normalcdf	normalcdf(-10^99, 180, 175, 4) = 0,8944
P(X > 180) bij N(175, 4)	normalcdf	normalcdf(180, 10^99, 175, 4) = 0,1056
Grens waarbij 95% eronder	invNorm	invNorm(0,95, 175, 4) = 181,58
P(X ≤ 4) bij B(20, 0.3)	binomcdf	binomcdf(20, 0.3, 4) = 0,2375
P(X = 6) bij B(20, 0.3)	binompdf	binompdf(20, 0.3, 6) = 0,1916

Ezelsbruggetje: "Functie(ALLE parameters) = antwoord"
Schrijf ALTIJD: functienaam + haakjes met ALLE getallen + = uitkomst

🎯 De Dominosteen-Methode (voor "Beredeneer" vragen)

Wat is dit?
Bij een "beredeneer" vraag moet je een KETTING van logische stappen maken. Elke stap volgt uit de vorige, zoals vallende dominostenen.

Waarom werkt dit?
De corrector zoekt naar een LOGISCHE LIJN. Als je stappen niet op elkaar aansluiten, krijg je minder punten - ook al is je conclusie goed!

Het Format: Pijlen gebruiken!

Voorbeeld vraag: "Beredeneer waarom de kans kleiner wordt als t toeneemt."

✅ GOED (dominostenen):
"Als t groter wordt → wordt 0,8^t kleiner (want 0,8 < 1)
→ wordt de teller van de breuk kleiner
→ wordt de hele breuk kleiner
→ wordt de kans kleiner."

❌ FOUT (geen ketting):
"De kans wordt kleiner omdat t groter wordt."

Dit is een CONCLUSIE, geen REDENERING. Waar is het "waarom"?

Template voor verschillende situaties:

📈

Groei/Afname: "Als [x] toeneemt → wordt [formule-deel] groter/kleiner → dus [y] neemt toe/af"

📊

Spreiding: "De standaardafwijking is [groter/kleiner] → de data ligt [meer/minder] gespreid → dus..."

🎲

Kansen: "De kans op succes is [p] → bij [n] pogingen → verwacht je [n×p] successen → dus..."

📉

Toets: "De p-waarde is [x] → dit is [kleiner/groter] dan α → dus we verwerpen H₀ [wel/niet]"

Checklist voor je "Beredeneer" antwoord:
□ Begint mijn antwoord met iets uit de VRAAG/CONTEXT?
□ Bevat elke zin een → (gevolg)?
□ Eindigt mijn antwoord met de CONCLUSIE die ze vragen?

📋 Examen-Signaalwoorden - Wat wordt er ECHT gevraagd?

Het examen gebruikt specifieke woorden die precies aangeven wat je moet doen.
Ken deze woorden = weet precies wat er van je verwacht wordt!

Signaalwoord	Wat je moet doen	Valkuil
"Bereken"	Rekenwerk tonen + antwoord geven	Alleen antwoord = 0 punten
"Toon aan dat..."	Het antwoord staat er AL! Laat de WEG zien.	Niet "achteruit werken"
"Beredeneer"	Logische ketting (dominostenen!) + conclusie	Alleen conclusie = 0 punten
"Onderzoek of..."	Berekening + JA/NEE conclusie in woorden	Conclusie vergeten!
"Leg uit" / "Verklaar"	In WOORDEN uitleggen (mag zonder formules)	Te kort antwoord
"Bepaal"	Vind de waarde (mag aflezen of berekenen)	Eenheden vergeten

EXAMENVALKUIL: "Onderzoek of"
Dit vraagt om TWEE dingen:
1. Een BEREKENING (toon je werk)
2. Een CONCLUSIE in woorden ("Ja, want..." of "Nee, want...")

Zonder conclusie verlies je de helft van de punten!

Waar gaat dit domein over?

DIT IS ~15-20% VAN HET EXAMEN!
Statistiek en kansrekening komen ALTIJD voor. Je GR is hierbij je beste vriend!

De vier hoofdonderwerpen:

Spreidingsmaten - Boxplots, Q1, Q3, mediaan, standaardafwijking
Normale verdeling - De klokcurve, met normalcdf en invNorm
Binomiale verdeling - Succes/mislukking experimenten
Hypothesetoetsen - Conclusies trekken uit data

1. Boxplots en Spreidingsmaten

Een boxplot geeft een samenvatting van data in 5 getallen:
Minimum, Q1, Mediaan (Q2), Q3, Maximum

De kwartielen begrijpen

De vijf belangrijke waarden:

Min - Q1 - Mediaan - Q3 - Max

Wat betekenen Q1 en Q3?

Q1 (eerste kwartiel) = De mediaan van de LINKERHELFT van de data
Q2 (mediaan) = Het midden van ALLE data
Q3 (derde kwartiel) = De mediaan van de RECHTERHELFT van de data

Stappenplan: Kwartielen bepalen

1

Sorteer de data van klein naar groot

2

Vind de mediaan (middelste waarde of gemiddelde van 2 middelste)

3

Q1 = mediaan van alle waarden LINKS van de mediaan

4

Q3 = mediaan van alle waarden RECHTS van de mediaan

Voorbeeld: Data = 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 15

n = 9 (oneven), dus mediaan = 5e waarde = 8
Linkerhelft: 2, 4, 5, 7 → Q1 = (4+5)/2 = 4,5
Rechterhelft: 9, 11, 12, 15 → Q3 = (11+12)/2 = 11,5

Interkwartielafstand (IQR)

IQR = Q3 - Q1

De IQR bevat de middelste 50% van de data.
Dit is de "breedte van de box" in een boxplot.

Boxplot tekenen

EXAMENTIP: Boxplots tekenen op de uitwerkbijlage!

Teken een box van Q1 tot Q3
Zet een streep bij de mediaan IN de box
Teken "snorharen" naar Min en Max
Check altijd de schaal op de as!

Boxplots vergelijken - Examentaal

Standaardzinnen voor vergelijken:

"De mediaan van A is hoger dan van B, dus..."
"De spreiding van A is groter (bredere box/IQR)..."
"De data van A is schever verdeeld (asymmetrische box)..."
"Er zijn meer uitschieters bij A..."

Standaardafwijking

De standaardafwijking (s of sigma) meet hoe ver de waarden gemiddeld van het gemiddelde liggen.

TI-84: Standaardafwijking berekenen

Voer data in via STAT → 1:Edit → L1
STAT → CALC → 1:1-Var Stats
Kies L1, druk ENTER
Lees af: Sx (steekproef) of sigma x (populatie)

Sx vs sigma x - Wanneer welke?

Sx = steekproef-standaardafwijking (meestal bij examen!)
sigma x = populatie-standaardafwijking

Bij twijfel: gebruik Sx (steekproef).

2. De Normale Verdeling - DE KLOKCURVE

Dit is HET belangrijkste onderdeel van statistiek!
Je moet de GR-functies normalcdf en invNorm perfect beheersen.

Wat is de normale verdeling?
Een klokvormige verdeling die volledig bepaald wordt door twee getallen:

mu (gemiddelde) - waar het midden van de klok ligt
sigma (standaardafwijking) - hoe breed de klok is

Notatie:

X ~ N(mu, sigma)

"X is normaal verdeeld met gemiddelde mu en standaardafwijking sigma"

De 68-95-99,7 regel

MOET JE KENNEN!

68% van de data ligt binnen 1 sigma van mu
95% van de data ligt binnen 2 sigma van mu
99,7% van de data ligt binnen 3 sigma van mu

GR-FUNCTIES: De Twee Die Je MOET Kennen!

FUNCTIE 1: normalcdf - Bereken de KANS/PERCENTAGE

normalcdf(ondergrens, bovengrens, mu, sigma)

Gebruik: Als je de kans/percentage wilt weten dat X tussen twee waarden ligt.

TI-84: normalcdf vinden

1

Druk op 2nd VARS (DISTR)

2

Kies 2:normalcdf(

3

Vul in: ondergrens, bovengrens, mu, sigma

4

Druk ENTER

Voorbeeld: X ~ N(100, 15). Bereken P(85 < X < 115)

normalcdf(85, 115, 100, 15) = 0,6827

Dus 68,27% van de data ligt tussen 85 en 115.

Speciale grenzen:

P(X < 90) → ondergrens = -1E99 (min oneindig)
P(X > 110) → bovengrens = 1E99 (plus oneindig)

TIP: 1E99 typ je als: 1, dan 2nd EE, dan 99

FUNCTIE 2: invNorm - Bereken de GRENS bij een percentage

invNorm(oppervlakte, mu, sigma)

Gebruik: Als je weet welk percentage/kans, en je zoekt de bijbehorende x-waarde.

TI-84: invNorm vinden

1

Druk op 2nd VARS (DISTR)

2

Kies 3:invNorm(

3

Vul in: oppervlakte links, mu, sigma

4

Druk ENTER

Voorbeeld: X ~ N(100, 15). Onder welke waarde ligt 90% van de data?

invNorm(0.90, 100, 15) = 119,2

90% van de data is kleiner dan 119,2.

VEELGEMAAKTE FOUT: oppervlakte LINKS!

invNorm geeft de x waarbij de oppervlakte LINKS ervan gelijk is aan je input.

"De bovenste 10%" → invNorm(0.90, mu, sigma) [niet 0.10!]
"De onderste 5%" → invNorm(0.05, mu, sigma)

Samenvatting: Welke functie wanneer?

Je zoekt...	Gebruik	Voorbeeld
Een kans/percentage	normalcdf	"Bereken P(X > 80)"
Een grenswaarde	invNorm	"Onder welke waarde ligt 95%?"

3. De Binomiale Verdeling - Succes of Mislukking

Wanneer gebruik je de binomiale verdeling?
Bij experimenten met precies TWEE uitkomsten: succes of mislukking.

Voorbeelden van binomiale situaties:

Munten opgooien: kop of munt
Examen: geslaagd of gezakt
Productie: defect of goed
Enquete: ja of nee

Notatie:

X ~ B(n, p)

n = aantal pogingen/experimenten
p = kans op succes per poging

GR-FUNCTIES voor Binomiaal

FUNCTIE 1: binompdf - PRECIES k keer succes

binompdf(n, p, k)

Gebruik: "Wat is de kans op PRECIES k successen?"

Voorbeeld: 10 keer gooien met een dobbelsteen. Kans op precies 3 zessen?

n = 10, p = 1/6, k = 3
binompdf(10, 1/6, 3) = 0,155

De kans is 15,5%.

FUNCTIE 2: binomcdf - HOOGSTENS k keer succes

binomcdf(n, p, k)

Gebruik: "Wat is de kans op HOOGSTENS k successen?" (0, 1, 2, ... of k)

Voorbeeld: 10 keer gooien. Kans op hoogstens 2 zessen?

binomcdf(10, 1/6, 2) = 0,775

De kans op 0, 1 of 2 zessen is 77,5%.

De trucs met binomcdf:

Je zoekt	Bereken
P(X <= k) "hoogstens"	binomcdf(n, p, k)
P(X < k) "minder dan"	binomcdf(n, p, k-1)
P(X >= k) "minstens"	1 - binomcdf(n, p, k-1)
P(X > k) "meer dan"	1 - binomcdf(n, p, k)

Ezelsbruggetje: pdf vs cdf

pdf = "precies dit aantal" (Precies Dit Feitelijk)
cdf = "cumulatief, dus tot en met" (Cumulatief = Doortellen)

TI-84: Binomiale functies vinden

Locatie op je GR:

1

Druk op 2nd VARS (DISTR)

2

Scroll naar beneden naar:

A

binompdf( voor precies k

B

binomcdf( voor hoogstens k

4. Hypothesetoetsen - Conclusies Trekken

Dit is ongeveer 15% van het examen!
Je moet het stappenplan kennen en kunnen toepassen.

Wat is een hypothesetoets?
Je onderzoekt of een bewering (hypothese) klopt op basis van data.

De twee hypothesen

H₀ = Nulhypothese
"Er is NIETS aan de hand" / De oude situatie klopt nog

H₁ = Alternatieve hypothese
"Er IS iets veranderd" / De bewering die je wilt bewijzen

Voorbeeld: Een fabrikant beweert dat 95% van de producten goed is.

H₀: p = 0,95 (de bewering klopt)
H₁: p < 0,95 (het percentage is lager)

Het Stappenplan voor Hypothesetoetsen

DE 4 STAPPEN - LEER DEZE!

1

Stel H₀ en H₁ op
H₀: de bewering/oude situatie
H₁: het alternatief (wat je wilt aantonen)

2

Bereken de p-waarde (overschrijdingskans)
Dit is de kans om je waarneming (of extremer) te krijgen ALS H₀ waar is.
Gebruik binomcdf of normalcdf!

3

Vergelijk met het significantieniveau alpha
Meestal alpha = 0,05 (5%) of alpha = 0,01 (1%)

4

Trek een conclusie
p-waarde < alpha → VERWERP H₀
p-waarde >= alpha → VERWERP H₀ NIET

Volledig voorbeeld:

Een fabrikant beweert: 95% van de producten is goed.
Je test 100 producten en vindt 90 goede.
Toets met alpha = 0,05 of het percentage lager is.

1

H₀: p = 0,95, H₁: p < 0,95

2

p-waarde = P(X <= 90 | p = 0,95) = binomcdf(100, 0,95, 90) = 0,028

3

0,028 < 0,05 (alpha)

4

Conclusie: Verwerp H₀. Er is significant bewijs dat het percentage lager is dan 95%.

Eenzijdig vs Tweezijdig toetsen

Let op de formulering van H₁!

Type	H₁	p-waarde berekening
Linkszijdig	p < ...	P(X <= waarneming)
Rechtszijdig	p > ...	P(X >= waarneming)
Tweezijdig	p != ...	2 x (kleinste van beide)

Standaardzinnen voor conclusies

Examen-formuleringen:

Als je H₀ VERWERPT:
"De p-waarde (X,XX) is kleiner dan alpha (0,05). Dus verwerp H₀. Er is significant bewijs dat [H₁ in woorden]."

Als je H₀ NIET verwerpt:
"De p-waarde (X,XX) is groter dan alpha (0,05). Dus verwerp H₀ niet. Er is onvoldoende bewijs dat [H₁ in woorden]."

NOOIT zeggen:

"H₀ is waar" ❌ (je kunt alleen zeggen dat je H₀ niet verwerpt)
"Bewezen dat..." ❌ (statistiek bewijst niet, maar geeft bewijs)

5. Signaalwoorden op het Examen

Herken deze woorden en weet wat je moet doen!
Dit bespaart je veel denktijd op het examen.

Signaalwoord	Wat moet je doen?
"Bereken exact"	Geen kommagetallen! Gebruik algebra, breuken, wortels.
"Beredeneer"	Schrijf een redenering in WOORDEN. "Als t groter wordt, dan wordt de noemer kleiner, dus..."
"Onderzoek of"	Maak een berekening EN geef antwoord op de vraag (Ja/Nee met onderbouwing).
"Bepaal"	Bereken met de GR of algebraisch - beide mag.
"Toon aan dat"	Het antwoord staat al in de vraag. Laat stappen zien die erheen leiden.
"Leg uit"	Geef een uitleg in woorden, geen berekening nodig.
"Geef een formule"	Schrijf een vergelijking met = teken en variabelen.
"Schat" / "Schattend"	Gebruik de grafiek/tabel, niet algebra. Aflezen!

Context-tips bij lange teksten

Raak niet in paniek bij lange teksten!

Lees eerst DE VRAAG (onderaan)
Zoek dan in de tekst alleen wat je nodig hebt
Markeer getallen en formules
Negeer "interessante" informatie die niet nodig is

GR-Functies Samenvatting

Alle belangrijke GR-functies op een rij:

Functie	Locatie	Gebruik voor
normalcdf	2nd DISTR → 2	Kans berekenen (normaal)
invNorm	2nd DISTR → 3	Grens zoeken bij kans (normaal)
binompdf	2nd DISTR → A	Kans op PRECIES k (binomiaal)
binomcdf	2nd DISTR → B	Kans op HOOGSTENS k (binomiaal)
1-Var Stats	STAT → CALC → 1	Gemiddelde, standaardafwijking

Top 5 fouten om te vermijden:

Bij invNorm: oppervlakte RECHTS invullen in plaats van LINKS
binompdf en binomcdf door elkaar halen
Bij "minstens k": vergeten om 1 - binomcdf(n, p, k-1) te doen
Bij hypothesetoets: zeggen "H₀ is bewezen"
Sx en sigma x door elkaar halen

Domein E: Statistiek en Kansrekening

📘 Dit is Wiskunde A - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

❌ NIET doen

📝 Zo schrijf je een "Beredeneer" antwoord (Statistiek)

❌ FOUT antwoord

✅ GOED antwoord

Hypothesetoets: De 4 stappen

⚠️ GR-Notatie Gids - Zo schrijf je je berekening op!

De Gouden Regel: Schrijf de VOLLEDIGE invoer op

❌ FOUT (0 punten)

✅ GOED (volle punten)

Standaard GR-Notaties (kopieer dit formaat!)

🎯 De Dominosteen-Methode (voor "Beredeneer" vragen)

Het Format: Pijlen gebruiken!

Template voor verschillende situaties:

📋 Examen-Signaalwoorden - Wat wordt er ECHT gevraagd?

Waar gaat dit domein over?

1. Boxplots en Spreidingsmaten

De kwartielen begrijpen

Interkwartielafstand (IQR)

Boxplot tekenen

Boxplots vergelijken - Examentaal

Standaardafwijking

2. De Normale Verdeling - DE KLOKCURVE

De 68-95-99,7 regel

GR-FUNCTIES: De Twee Die Je MOET Kennen!

Samenvatting: Welke functie wanneer?

3. De Binomiale Verdeling - Succes of Mislukking

GR-FUNCTIES voor Binomiaal

TI-84: Binomiale functies vinden

4. Hypothesetoetsen - Conclusies Trekken

De twee hypothesen

Het Stappenplan voor Hypothesetoetsen

Eenzijdig vs Tweezijdig toetsen

Standaardzinnen voor conclusies

5. Signaalwoorden op het Examen

Context-tips bij lange teksten

GR-Functies Samenvatting