Wiskunde A VWO - Domein B: Algebra en Tellen (UITLEG)

📝 Zo schrijf je een "Beredeneer" antwoord

Bij Wiskunde A moet je ALTIJD uitleggen!
Alleen een getal opschrijven is NIET genoeg. Je moet je redenering laten zien.

❌ FOUT antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de groei afneemt."

"Omdat de grafiek daalt."

Te vaag, geen wiskunde, geen context!

✅ GOED antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de groei afneemt."

"De groei neemt af omdat de groeifactor 0,95 is, wat kleiner is dan 1. Dit betekent dat elk jaar 5% minder wordt toegevoegd aan de bevolking."

Wiskundig + getal + context!

Checklist voor elk "Beredeneer" antwoord:

1

Wiskundige reden: Noem het wiskundige concept (groeifactor, helling, percentage, etc.)

2

Getal als bewijs: Geef een concreet getal dat je uitspraak ondersteunt

3

Context: Leg uit wat dit betekent in de situatie van de vraag

Onthoud: WGC
Wiskundig begrip + Getal + Context = Volledig antwoord

Waar gaat dit domein over?

In het kort:
Domein B gaat over rekenvaardigheden met variabelen en telproblemen. Dit is de basis voor alles wat je in Wiskunde A nodig hebt!

Dit domein bevat twee subdomeinen:

B1: Algebra - Rekenen met formules, machten, wortels, breuken
B2: Telproblemen - Permutaties en combinaties (op hoeveel manieren kan iets?)

1. Machten - De Rekenregels

Wat is een macht?
Een macht is een korte notatie voor herhaald vermenigvuldigen: aⁿ betekent "vermenigvuldig a met zichzelf, n keer".

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

De 5 belangrijkste rekenregels

Regel 1: Vermenigvuldigen (zelfde grondtal)

!

a^m x aⁿ = a^m+n
Tel de exponenten op!

Voorbeeld: 3⁴ x 3² = 3⁴⁺² = 3⁶ = 729

Regel 2: Delen (zelfde grondtal)

!

a^m : aⁿ = a^m-n
Trek de exponenten af!

Voorbeeld: 5⁷ : 5³ = 5^7-3 = 5⁴ = 625

Regel 3: Macht van een macht

!

(a^m)ⁿ = a^{m x n}
Vermenigvuldig de exponenten!

Voorbeeld: (2³)⁴ = 2^3x4 = 2¹² = 4096

Regel 4: Product tot een macht

!

(a x b)ⁿ = aⁿ x bⁿ
De macht gaat naar beide factoren!

Voorbeeld: (2 x 5)³ = 2³ x 5³ = 8 x 125 = 1000

Regel 5: Quotient tot een macht

!

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
De macht gaat naar teller EN noemer!

Voorbeeld: (3/2)⁴ = 3⁴/2⁴ = 81/16

Speciale gevallen

a⁰ = 1

Elk getal (behalve 0) tot de macht 0 is gelijk aan 1.

7⁰ = 1
(-5)⁰ = 1
100⁰ = 1

a^-n = 1/aⁿ

Een negatieve exponent betekent: "zet het in de noemer".

2^-3 = 1/2³ = 1/8
10^-2 = 1/10² = 1/100 = 0,01
5^-1 = 1/5 = 0,2

a^1/n = n-de machtswortel van a

a^1/2 = wortel(a)
a^1/3 = derdemachtswortel(a)
8^1/3 = 2 (want 2³ = 8)
16^1/4 = 2 (want 2⁴ = 16)

Combineren: a^m/n

a^m/n = (n-de machtswortel van a)^m

Voorbeeld: 8^2/3 = (derdemachtswortel van 8)² = 2² = 4

2. Breuken met Variabelen

De regels:
Breuken met variabelen werken precies zoals breuken met getallen!

Optellen en aftrekken

a/c + b/c = (a+b)/c

Verschillende noemers? Maak ze eerst gelijk!

a/b + c/d = (a x d + c x b)/(b x d)

Voorbeeld:
2/x + 3/y = (2y + 3x)/(xy)

Vermenigvuldigen

(a/b) x (c/d) = (a x c)/(b x d)

Voorbeeld:
(x/3) x (2/y) = 2x/3y

Delen

Delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde!

(a/b) : (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d)/(b x c)

Voorbeeld:
(x/2) : (3/4) = (x/2) x (4/3) = 4x/6 = 2x/3

3. Werken met Haakjes

Haakjes wegwerken

a(b + c) = ab + ac

Voorbeeld:
3(x + 2) = 3x + 6
x(x - 5) = x² - 5x

Twee haakjes vermenigvuldigen

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ezelsbruggetje: FOIL

First: eerste x eerste
Outer: buitenste
Inner: binnenste
Last: laatste x laatste

Voorbeeld: (x + 3)(x + 5)

= x x x + x x 5 + 3 x x + 3 x 5
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15

Merkwaardige producten (ken deze uit je hoofd!)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Voorbeelden:
(x + 4)² = x² + 8x + 16
(x - 3)² = x² - 6x + 9
(x + 5)(x - 5) = x² - 25

4. Percentages en Verhoudingen

Kernidee:
Een percentage is een deel van het geheel, uitgedrukt in honderdsten.

Stijging met p%

Nieuw = Oud x (1 + p/100)

Voorbeeld: 25% stijging
Vermenigvuldig met: 1 + 25/100 = 1,25

100 euro + 25% = 100 x 1,25 = 125 euro

Daling met p%

Nieuw = Oud x (1 - p/100)

Voorbeeld: 20% daling (korting)
Vermenigvuldig met: 1 - 20/100 = 0,80

50 euro - 20% = 50 x 0,80 = 40 euro

Terugrekenen (van eind naar begin)

Bij terugrekenen: DELEN in plaats van vermenigvuldigen!

Als iets na 15% stijging 230 euro is:
Begin = 230 : 1,15 = 200 euro

Groeifactor bepalen

Groeifactor = Nieuw / Oud

Percentage = (Groeifactor - 1) x 100%

Voorbeeld: Van 80 naar 100

Groeifactor = 100/80 = 1,25
Percentage = (1,25 - 1) x 100% = 25% stijging

5. Telproblemen - Permutaties en Combinaties

De kernvraag:
"Op hoeveel manieren kan iets gebeuren?"

🔀 Stroomschema: Welke formule moet ik gebruiken?

START: Moet ik iets TELLEN?

↓

Vraag 1: Maakt de VOLGORDE uit?

JA
↓

PERMUTATIE
n! of nPr

NEE
↓

COMBINATIE
nCr

Volgorde WEL (Permutatie)

Wie wordt 1e, 2e, 3e?
Wachtwoorden maken
Mensen in een rij zetten
"rangschikken", "ordenen"

Volgorde NIET (Combinatie)

Een team samenstellen
Kaarten kiezen
Commissie vormen
"kiezen", "selecteren"

Ezelsbruggetje: Bij "kiezen/selecteren" → nCr (Combinatie) | Bij "rangschikken/ordenen" → nPr (Permutatie)

Faculteit (n!)

n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1

Voorbeelden:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
3! = 3 x 2 x 1 = 6

Onthoud: 0! = 1 (niet 0!)

Dit is een definitie. De reden: er is precies 1 manier om 0 dingen te rangschikken (namelijk: doe niets).

Permutaties - Volgorde WEL belangrijk

Wanneer gebruik je permutaties?
Als de volgorde uitmaakt! Bijvoorbeeld:

Wedstrijden: wie wordt 1e, 2e, 3e?
Wachtwoorden: ABC is anders dan BAC
Mensen in een rij zetten

n mensen in een rij zetten:
n! manieren

k mensen kiezen uit n (volgorde belangrijk):
P(n,k) = n!/(n-k)!

Voorbeeld: 3 prijzen (goud, zilver, brons) voor 10 deelnemers

P(10,3) = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 mogelijkheden

Combinaties - Volgorde NIET belangrijk

Wanneer gebruik je combinaties?
Als de volgorde NIET uitmaakt! Bijvoorbeeld:

Een team samenstellen: {Jan, Piet} = {Piet, Jan}
Loterij: welke nummers (niet in welke volgorde)
Een commissie vormen

"n boven k" of C(n,k):

C(n,k) = n!/(k! x (n-k)!)

Voorbeeld: Een team van 3 kiezen uit 10 mensen

C(10,3) = 10!/(3! x 7!) = (10 x 9 x 8)/(3 x 2 x 1) = 720/6 = 120 mogelijkheden

Rekenmachine tip:

TI-84: 10 MATH PRB 3:nCr 3 = 120
Casio: 10 OPTN PROB nCr 3 = 120

EXAMEN-TIP: De notatie 10nCr3 of 10 nCr 3 wordt op het examen geaccepteerd als berekening! Je hoeft dus niet de hele breuk uit te schrijven.

nCr herkennen op het examen - CRUCIAAL!

De gouden regel:
"X dingen/mensen kiezen uit Y" is ALTIJD een combinatie!

Signaalwoorden voor nCr (combinaties):

"Kies 3 mensen uit een groep van 10" → 10 nCr 3
"Selecteer 5 kaarten uit 52" → 52 nCr 5
"Neem 4 leerlingen uit een klas van 25" → 25 nCr 4
"Hoeveel groepjes van 3?" → nCr
"Hoeveel commissies/teams/delegaties?" → nCr

Examenvoorbeeld:

"In een klas zitten 12 jongens en 8 meisjes. Er moet een commissie van 4 leerlingen worden gekozen, bestaande uit 2 jongens en 2 meisjes."

1

2 jongens kiezen uit 12: 12 nCr 2 = 66

2

2 meisjes kiezen uit 8: 8 nCr 2 = 28

3

Totaal: 66 x 28 = 1848 mogelijkheden

Belangrijke eigenschappen van combinaties

Handige regels:

C(n,0) = 1
C(n,n) = 1
C(n,1) = n
C(n,k) = C(n, n-k) (symmetrie!)

De symmetrie-truc is heel handig!
C(100,98) = C(100,2) = (100 x 99)/2 = 4950

Permutatie vs Combinatie - Hoe kies je?

Stel jezelf deze vraag:

"Als ik de volgorde omdraai, is het dan nog hetzelfde?"

JA (zelfde team/groep) → COMBINATIE
NEE (andere uitslag) → PERMUTATIE

PERMUTATIE (volgorde WEL)	COMBINATIE (volgorde NIET)
Wedstrijden (1e, 2e, 3e)	Teams samenstellen
Wachtwoorden/codes	Lotto (welke nummers)
Mensen in een rij	Commissies vormen

6. Variabelen Vrijmaken bij Machtsfuncties

Dit komt VAAK op het examen!
Je krijgt een formule zoals L = a x G^b en moet G vrijmaken (uitdrukken in L).

Het 3-stappenplan:
Dit werkt ALTIJD bij formules van de vorm y = c x xⁿ

Stappenplan: Maak x vrij uit y = c x xⁿ

1

Deel door de coefficient
y/c = xⁿ

2

Neem de omgekeerde macht (1/n)
(y/c)^1/n = x

3

Vereenvoudig indien nodig
x = (y/c)^1/n of x = ⁿ√(y/c)

Voorbeeld 1: Maak G vrij uit L = 2,5 x G^1,5

1

Deel door 2,5: L/2,5 = G^1,5

2

Neem macht 1/1,5 = 2/3: (L/2,5)^2/3 = G

3

G = (L/2,5)^2/3 of G = (0,4L)^2/3

Voorbeeld 2: Maak r vrij uit V = (4/3) x pi x r³

1

Deel door (4/3)pi: V/((4/3)pi) = r³, dus 3V/(4pi) = r³

2

Neem macht 1/3 (derdemachtswortel): r = (3V/(4pi))^1/3

3

r = ³√(3V/(4pi))

Omgekeerde machten - snel overzicht:

Macht n	Omgekeerde 1/n	Betekenis
2	1/2 = 0,5	Wortel
3	1/3 ≈ 0,333	Derdemachtswortel
1,5	1/1,5 = 2/3 ≈ 0,667
0,5	1/0,5 = 2	Kwadraat
-1	1/-1 = -1	Omgekeerde

Let op bij negatieve exponenten!

Als y = c x x^-2, dan is x^-2 = y/c
Dus x² = c/y (neem het omgekeerde!)
En x = √(c/y)

7. De Driehoek van Pascal

Wat is het?
Een driehoek van getallen waarbij elk getal de som is van de twee getallen erboven.

1

11

121

1331

14641

15101051

Waarom is dit handig?

Rij n bevat alle waarden C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n)
Rij 4: 1, 4, 6, 4, 1 zijn C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4)

Let op: tel rijen vanaf 0!
De bovenste rij (alleen een 1) is rij 0.

Binomium van Newton

De getallen in Pascal's driehoek zijn de coëfficiënten bij (a+b)ⁿ

(a+b)² = a² + 2ab + b² (rij 2: 1,2,1)

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (rij 3: 1,3,3,1)

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ (rij 4: 1,4,6,4,1)

Bij (a-b)ⁿ wisselen de tekens!

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Regel: even macht van b → plus, oneven macht van b → min

Signaalwoorden op het Examen

Herken deze woorden en weet wat je moet doen!

Signaalwoord	Wat moet je doen?
"Bereken exact"	Geen kommagetallen! Laat breuken, wortels staan.
"Beredeneer"	Schrijf een redenering in WOORDEN.
"Hoeveel mogelijkheden"	Telproblemen! Check: permutatie of combinatie?
"Kies ... uit ..."	Dit is ALTIJD nCr (combinatie)!
"Toon aan dat"	Het antwoord staat al in de vraag. Laat stappen zien.
"Druk uit in"	Maak de gevraagde variabele vrij (herschrijven).

Samenvatting - Wat je moet kunnen

1

Machten: Alle 5 rekenregels beheersen
a^m x aⁿ, a^m/aⁿ, (a^m)ⁿ, (ab)ⁿ, (a/b)ⁿ

2

Breuken: Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen
Ook met variabelen in teller en/of noemer

3

Haakjes: Wegwerken en merkwaardige producten
(a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b)

4

Percentages: Stijgen, dalen, terugrekenen
Groeifactoren kunnen bepalen

5

Tellen: Permutaties vs combinaties
Weten wanneer je welke gebruikt!

Meest gemaakte fouten:

0! = 0 zeggen (het is 0! = 1)
Permutatie en combinatie door elkaar halen
Bij (a-b)ⁿ de tekens verkeerd
Vergeten te delen bij terugrekenen met percentages

Domein B: Algebra en Tellen

📘 Dit is Wiskunde A - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

❌ NIET doen