Wiskunde A VWO - Domein D: Verandering (UITLEG)

📝 Zo schrijf je een "Beredeneer" antwoord (Verandering)

Bij vragen over verandering gaat het om SNELHEID en RICHTING!
Denk aan: stijgen/dalen, sneller/langzamer, maximum/minimum.

❌ FOUT antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de functie stijgt op dit interval."

"Omdat de lijn omhoog gaat."

Dit is beschrijven, niet beredeneren!

✅ GOED antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom de functie stijgt op dit interval."

"De functie stijgt omdat de afgeleide f'(x) positief is op het interval [2, 5]. Een positieve afgeleide betekent dat de helling omhoog wijst."

Afgeleide + teken + betekenis!

De taal van verandering:

+

f'(x) > 0: Functie STIJGT (grafiek gaat omhoog)

−

f'(x) < 0: Functie DAALT (grafiek gaat omlaag)

0

f'(x) = 0: EXTREME waarde (maximum of minimum)

Onthoud: De afgeleide vertelt de SNELHEID van verandering
f'(x) = groot positief → snel stijgend | f'(x) = klein positief → langzaam stijgend

Waar gaat dit domein over?

In het kort:
Dit domein gaat over hoe dingen veranderen. Je leert over rijen, hellingen en de afgeleide - dat is NIEUW en BELANGRIJK voor Wiskunde A!

De drie onderdelen:

Rijen - patronen van getallen die elkaar opvolgen
Helling en steilheid - hoe steil is een grafiek?
Afgeleide functies - de snelheid van verandering

Dit is WAT WISKUNDE A UNIEK MAAKT!
De afgeleide (differentiaalrekening) zit NIET in Wiskunde C, maar wel in Wiskunde A. Dit is een groot en belangrijk onderwerp!

1. Rijen - Patronen van Getallen

Wat is een rij?
Een rij is een geordende reeks getallen die een patroon volgt.

Rekenkundige rijen (lineair)

u_n = u₁ + (n-1) x d

Kenmerken van een rekenkundige rij:

Het verschil tussen opeenvolgende termen is constant
d = het verschil (kan positief of negatief zijn)
Ook wel: aritmetische rij

Voorbeeld: 3, 7, 11, 15, 19, ...

Verschil: 7-3 = 4, 11-7 = 4, 15-11 = 4 - constant!
Dus d = 4 en u₁ = 3
Formule: u_n = 3 + (n-1) x 4 = 4n - 1

Check: u₅ = 4(5) - 1 = 19

Meetkundige rijen (exponentieel)

u_n = u₁ x r^n-1

Kenmerken van een meetkundige rij:

De verhouding tussen opeenvolgende termen is constant
r = de reden (verhoudingsgetal)
Ook wel: geometrische rij

Voorbeeld: 2, 6, 18, 54, 162, ...

Verhouding: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 - constant!
Dus r = 3 en u₁ = 2
Formule: u_n = 2 x 3^n-1

Check: u₅ = 2 x 3⁴ = 2 x 81 = 162

Recursieve formules

Wat is een recursieve formule?
Een formule die de volgende term berekent uit de vorige term(en).

Voorbeelden:

u_n+1 = u_n + d (rekenkundig)

u_n+1 = r x u_n (meetkundig)

Directe formule vs Recursieve formule:

Directe formule	Recursieve formule
u_n = 4n - 1	u_n+1 = u_n + 4, u₁ = 3
Je kunt elke term direct berekenen	Je moet alle voorgaande termen kennen

Som van een rij

Som van een rekenkundige rij:

S_n = n x (u₁ + u_n) / 2

Ezelsbruggetje:
"Aantal termen x gemiddelde van eerste en laatste term"

Som van een meetkundige rij:

S_n = u₁ x (rⁿ - 1) / (r - 1)

Voorbeeld: Bereken 3 + 7 + 11 + 15 + 19

Dit is een rekenkundige rij met n = 5 termen.
S₅ = 5 x (3 + 19) / 2 = 5 x 22 / 2 = 55

2. Helling en Steilheid

Wat is de helling?
De helling vertelt je hoe steil een grafiek is op een bepaald punt.

Gemiddelde verandering (differentiequotient)

Gemiddelde verandering = Delta y / Delta x = (f(b) - f(a)) / (b - a)

In gewone taal:
"Hoeveel verandert y gemiddeld per eenheid x?"

Dit is de helling van de koorde (rechte lijn) tussen twee punten op de grafiek.

Voorbeeld: f(x) = x², bereken de gemiddelde verandering tussen x = 1 en x = 3

1

f(1) = 1² = 1

2

f(3) = 3² = 9

3

Gemiddelde verandering = (9 - 1) / (3 - 1) = 8 / 2 = 4

Momentane verandering (de afgeleide)

Van gemiddeld naar momentaan:
Als je het interval steeds kleiner maakt (Delta x gaat naar 0), krijg je de momentane verandering - de helling op precies dat punt.

f'(a) = lim_{Delta x -> 0} (f(a + Delta x) - f(a)) / Delta x

De afgeleide f'(x) is:

De helling van de raaklijn in dat punt
De momentane snelheid van verandering
De richtingscoefficient van de raaklijn

3. Afgeleide Functies - DE KERN VAN WISKUNDE A

Dit is SUPERBELANGRIJK!
De afgeleide is het belangrijkste onderwerp dat Wiskunde A onderscheidt van Wiskunde C. Je moet dit goed begrijpen!

Wat is de afgeleide?

De afgeleide f'(x) geeft de helling van f(x) in elk punt.

Als f(x) de positie is, dan is f'(x) de snelheid.
Als f(x) het aantal is, dan is f'(x) de groeisnelheid.

Basisafgeleiden - MOET JE UIT JE HOOFD KENNEN!

Functie f(x)	Afgeleide f'(x)
c (constante)	0
x	1
xⁿ	n x x^n-1
sqrt(x) = x^1/2	1 / (2 x sqrt(x))
1/x = x^-1	-1/x²
e^x	e^x
a^x	a^x x ln(a)
ln(x)	1/x
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)

De machtsregel - de belangrijkste!

(xⁿ)' = n x x^n-1

"De exponent komt naar voren als coefficient, en de exponent wordt 1 minder."

Voorbeelden machtsregel:

f(x) = x³ dan f'(x) = 3x²
f(x) = x⁵ dan f'(x) = 5x⁴
f(x) = x^-2 = 1/x² dan f'(x) = -2x^-3 = -2/x³
f(x) = x^1/2 = sqrt(x) dan f'(x) = (1/2)x^-1/2 = 1/(2sqrt(x))

Rekenregels voor afgeleiden

Regel 1: Constante factor

1

(c x f(x))' = c x f'(x)
Een constante factor blijft gewoon staan.

Voorbeeld: f(x) = 5x³
f'(x) = 5 x 3x² = 15x²

Regel 2: Somregel

2

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
Neem de afgeleide van elke term apart.

Voorbeeld: f(x) = x³ + 4x² - 2x + 7
f'(x) = 3x² + 8x - 2 + 0 = 3x² + 8x - 2

Regel 3: Productregel

3

(f(x) x g(x))' = f'(x) x g(x) + f(x) x g'(x)
"Afgeleide eerste x tweede + eerste x afgeleide tweede"

Voorbeeld: f(x) = x² x e^x
Noem u = x² en v = e^x
u' = 2x en v' = e^x
f'(x) = 2x x e^x + x² x e^x = e^x(2x + x²)

Regel 4: Quotientregel

4

(f(x)/g(x))' = (f'(x) x g(x) - f(x) x g'(x)) / (g(x))²
"NAT - TAN door N kwadraat" (Noemer x Afgeleide Teller - Teller x Afgeleide Noemer)

Regel 5: Kettingregel

5

(f(g(x)))' = f'(g(x)) x g'(x)
"Buitenste afgeleide x binnenste afgeleide"

Voorbeeld: f(x) = (3x + 1)⁵
Buitenste: ( )⁵, binnenste: 3x + 1
Buitenste afgeleide: 5( )⁴ = 5(3x + 1)⁴
Binnenste afgeleide: 3
f'(x) = 5(3x + 1)⁴ x 3 = 15(3x + 1)⁴

Kettingregel ezelsbruggetje:
"Differentieer de buitenkant, laat de binnenkant staan, vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenkant."

4. Toepassingen van de Afgeleide

Raaklijnen bepalen

De raaklijn in een punt (a, f(a)) heeft:

Richtingscoefficient: f'(a)
Gaat door het punt (a, f(a))

Vergelijking van de raaklijn:

y - f(a) = f'(a) x (x - a)

of

y = f'(a) x (x - a) + f(a)

Voorbeeld: Vind de raaklijn aan f(x) = x² in x = 3

1

f(3) = 9, dus het raakpunt is (3, 9)

2

f'(x) = 2x, dus f'(3) = 6 (de richtingscoefficient)

3

y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9

Stijgen en dalen

De afgeleide vertelt je waar de functie stijgt of daalt!

f'(x) > 0 - de functie stijgt
f'(x) < 0 - de functie daalt
f'(x) = 0 - de functie heeft een horizontale raaklijn (mogelijk extremum)

Extremen (maxima en minima)

Een extremum is een maximum of minimum van de functie.
Bij een extremum is de afgeleide gelijk aan nul: f'(x) = 0

Stappenplan om extremen te vinden:

1

Bereken de afgeleide f'(x)

2

Los f'(x) = 0 op

3

Check of het een maximum of minimum is (tekenschema of tweede afgeleide)

4

Bereken de y-waarde door de x in te vullen in f(x)

Voorbeeld: Vind de extremen van f(x) = x³ - 3x

1

f'(x) = 3x² - 3

2

3x² - 3 = 0, dus x² = 1, dus x = 1 of x = -1

3

f(1) = 1 - 3 = -2 en f(-1) = -1 + 3 = 2

Maximum: (-1, 2) en Minimum: (1, -2)

Maximum of minimum? - Drie methoden

Methode 1: Tekenschema van f'(x)

1

Als f'(x) van + naar - gaat: MAXIMUM

2

Als f'(x) van - naar + gaat: MINIMUM

Methode 2: Tweede afgeleide f''(x)

1

Als f''(a) < 0: MAXIMUM in x = a

2

Als f''(a) > 0: MINIMUM in x = a

Ezelsbruggetje voor de tweede afgeleide:

f''(a) < 0 - "negatief = berg = maximum"
f''(a) > 0 - "positief = dal = minimum"

Buigpunten

Een buigpunt is waar de kromming van de grafiek verandert.
Bij een buigpunt geldt: f''(x) = 0

Let op!
f''(x) = 0 is noodzakelijk maar niet voldoende voor een buigpunt!
Je moet ook checken dat f''(x) daadwerkelijk van teken verandert.

5. Optimaliseren - Extremen in Context

Dit vraagtype komt BIJNA ALTIJD op het examen!
"Bereken de afmetingen waarbij [iets] maximaal/minimaal is."

Stappenplan voor optimaliseringsvraagstukken:

1

Teken een plaatje en geef variabelen namen (x, y, etc.)

2

Stel de doelfunctie op - wat moet je maximaliseren/minimaliseren?

3

Stel de bijvoorwaarde(n) op - welke beperkingen zijn er?

4

Elimineer een variabele met de bijvoorwaarde

5

Differentieer en stel f'(x) = 0

6

Los op en check dat het extremum in het domein ligt

7

Bereken de gevraagde waarde

Klassiek voorbeeld: Maximale oppervlakte

Je hebt 100 meter hek om een rechthoekig veld af te zetten tegen een muur. Wat zijn de afmetingen voor maximale oppervlakte?

1

Noem de breedte x en de lengte y (de muur is een kant)

2

Doelfunctie: A = x x y (oppervlakte)

3

Bijvoorwaarde: 2x + y = 100 (hek)

4

y = 100 - 2x, dus A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x²

5

A'(x) = 100 - 4x = 0

6

x = 25, y = 100 - 2(25) = 50

Afmetingen: 25 m x 50 m, Oppervlakte: 1250 m²

6. Afgeleiden van Speciale Functies

De e-macht

(e^x)' = e^x

Dit is wat e zo speciaal maakt!
De functie e^x is zijn eigen afgeleide. Dit is de ENIGE functie waarvoor dat geldt.

Met kettingregel:

(e^g(x))' = e^g(x) x g'(x)

Voorbeeld: (e^3x)' = e^3x x 3 = 3e^3x

Logaritmen

(ln(x))' = 1/x

Met kettingregel:

(ln(g(x)))' = g'(x) / g(x)

Voorbeeld: (ln(x² + 1))' = 2x / (x² + 1)

Goniometrische functies

Functie	Afgeleide
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1/cos²(x)

Ezelsbruggetje:

sin wordt cos (de "c" van cosinus zit in het alfabet na "s")
cos wordt -sin (minteken erbij!)

Let op: radialen!

Deze afgeleiden gelden alleen als x in radialen is!
Zet je GR altijd op radialen-modus bij goniometrische afgeleiden.

Met kettingregel:

(sin(3x))' = cos(3x) x 3 = 3cos(3x)
(cos(x²))' = -sin(x²) x 2x = -2x sin(x²)

7. Snelheid en Versnelling

De fysische betekenis van de afgeleide:
Als s(t) de positie is op tijdstip t, dan is s'(t) de snelheid.

De hiërarchie:

positie s(t)
↓ differentieer
snelheid v(t) = s'(t)
↓ differentieer
versnelling a(t) = v'(t) = s''(t)

Interpretatie van tekens:

v(t) > 0: beweegt in positieve richting
v(t) < 0: beweegt in negatieve richting
v(t) = 0: staat stil (keerpunt!)
a(t) > 0: snelheid neemt toe
a(t) < 0: snelheid neemt af (remmen)

Voorbeeld: s(t) = t³ - 6t² + 9t

Snelheid: v(t) = s'(t) = 3t² - 12t + 9
Versnelling: a(t) = v'(t) = 6t - 12

Stilstand (v = 0): 3t² - 12t + 9 = 0 - t = 1 of t = 3
a = 0 als t = 2 (dit is het buigpunt)

Signaalwoorden op het Examen

Herken deze woorden en weet wat je moet doen!

Signaalwoord	Wat moet je doen?
"Bereken exact"	Geen kommagetallen! Laat breuken, wortels, pi staan.
"Snelheid van verandering"	Dit betekent ALTIJD: bereken de AFGELEIDE!
"Maximum/minimum bepalen"	Afgeleide = 0, oplossen, checken met tekenschema of f''
"Raaklijn bepalen"	Bereken f(a) en f'(a), gebruik y - f(a) = f'(a)(x - a)
"Stijgend/dalend"	Kijk waar f'(x) > 0 (stijgend) of f'(x) < 0 (dalend)
"Optimaliseer"	1. Doelfunctie opstellen 2. Afgeleide=0 3. Check domein
"Toon aan dat"	Het antwoord staat al in de vraag. Werk erheen met stappen.

Samenvatting - De Belangrijkste Afgeleiden

Functie	Afgeleide	Let op!
xⁿ	n x x^n-1	Ook voor negatieve en gebroken n
e^x	e^x	Blijft zichzelf!
a^x	a^x x ln(a)	Factor ln(a) erbij
ln(x)	1/x	Alleen voor x > 0
sin(x)	cos(x)	In radialen!
cos(x)	-sin(x)	Minteken!

Top 5 fouten om te vermijden:

Kettingregel vergeten! - (e^2x)' is NIET e^2x maar 2e^2x
Bij cos differentiëren het minteken vergeten
De afgeleide van ln(x) is 1/x, NIET 1/ln(x)
Bij optimaliseren: niet checken of het extremum in het domein ligt
Bij f'(x) = 0: vergeten dat dit noodzakelijk maar niet voldoende is voor een extremum

Laatste examenstips:

Bij optimaliseringsvragen: ALTIJD eerst een plaatje tekenen
Controleer je antwoord door een waarde in te vullen
Bij raaklijnvragen: bereken eerst f(a) EN f'(a)
Bij tekenschema's: kies testpunten links en rechts van elk nulpunt van f'(x)

Domein D: Verandering

📘 Dit is Wiskunde A - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

❌ NIET doen