Domein C: Verbanden

Wiskunde A VWO - Centraal Examen
UITLEG
← Terug naar overzicht Domein B (uitleg) Domein D (uitleg) Domein E (uitleg)

📘 Dit is Wiskunde A - Wat betekent dat voor jou?

✅ WEL doen

  • GR gebruiken (standaard toegestaan)
  • Antwoord afronden op decimalen
  • ALTIJD uitleggen in woorden
  • Context noemen (€, jaren, km)
  • Grafieken aflezen met GR

❌ NIET doen

  • Alleen een getal opschrijven (leg uit!)
  • Eenheden vergeten
  • Bij "exact": GR gebruiken
  • Context negeren in je antwoord
🎯 Wiskunde A draait om BEGRIJPEN en UITLEGGEN
Je moet niet alleen kunnen rekenen, maar ook kunnen uitleggen WAT het betekent in de situatie.

📝 Zo schrijf je een "Beredeneer" antwoord (Verbanden)

Bij vragen over verbanden moet je het TYPE herkennen!
Is het lineair, exponentieel, logaritmisch? Dat bepaalt je hele antwoord.

❌ FOUT antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom dit een exponentieel verband is."

"Omdat het snel groeit."

Te vaag! Lineair kan ook snel groeien.

✅ GOED antwoord

Vraag: "Beredeneer waarom dit een exponentieel verband is."

"Dit is exponentieel omdat de waarde steeds met hetzelfde percentage toeneemt (×1,05 per jaar). Bij lineaire groei zou er steeds hetzelfde getal bij komen."

Wiskundig kenmerk + vergelijking!

Hoe herken je het type verband?

+
Lineair: Er komt steeds HETZELFDE GETAL bij (bijv. +5 per jaar)
×
Exponentieel: Er wordt steeds vermenigvuldigd met DEZELFDE FACTOR (bijv. ×1,03 per jaar)
↺
Logaritmisch: De OMGEKEERDE van exponentieel - als je t wilt uitrekenen
Ezelsbruggetje: "Plus of Keer?"
+konstant = Lineair | ×konstant = Exponentieel

Waar gaat dit domein over?

In het kort:
Dit domein gaat over formules, functies en grafieken. Je leert hoe verschillende verbanden werken, hoe je ze kunt herkennen en hoe je ermee rekent.
Er zijn 6 soorten functies die je moet kennen:

  1. Lineair - de rechte lijn (y = ax + b)
  2. Kwadratisch - de parabool (y = ax2 + bx + c)
  3. Machtsfuncties - y = axn
  4. Exponentieel - de groeifunctie (N = b x gt)
  5. Logaritmisch - de "omgekeerde" van exponentieel
  6. Goniometrisch - sinus, cosinus, tangens

1. Lineaire Verbanden - De Rechte Lijn

Wat is een lineair verband?
Een lineair verband geeft altijd een rechte lijn als grafiek. De formule ziet er zo uit:
y = ax + b
Wat betekenen a en b?

  • a = de richtingscoefficient (hoe steil de lijn is)
  • b = de startwaarde (waar de lijn de y-as kruist)

Wat vertelt de "a" je?

De a bepaalt of de lijn stijgt of daalt:

  • a is positief (a > 0) - de lijn gaat omhoog (van links naar rechts)
  • a is negatief (a < 0) - de lijn gaat omlaag
  • a = 0 - de lijn is helemaal plat (horizontaal)

Hoe groter |a|, hoe steiler de lijn!
Een lijn met a = 5 is steiler dan een lijn met a = 2.

Hoe bereken je de richtingscoefficient a?

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
In gewone taal:
"Hoeveel gaat y omhoog als x met 1 toeneemt?"

Je neemt 2 punten van de lijn, berekent het verschil in y, en deelt door het verschil in x.
Voorbeeld: Bereken a als de lijn door (2, 5) en (6, 13) gaat
1
Pak de twee punten: (2, 5) en (6, 13)
2
Verschil in y: 13 - 5 = 8
3
Verschil in x: 6 - 2 = 4
4
a = 8 / 4 = 2

Hoe herken je een lineair verband in een tabel?

De truc:
Kijk naar de verschillen tussen opeenvolgende y-waarden.
Als die verschillen constant zijn - het is lineair!
Voorbeeld:

x01234
y37111519

Verschillen: 7-3=4, 11-7=4, 15-11=4, 19-15=4
Alle verschillen zijn 4 - Lineair! En a = 4.

Formule opstellen

Stappenplan om de formule te vinden:
1
Bereken a met twee punten
2
Vul a en een punt in de formule y = ax + b
3
Los b op
Voorbeeld: Vind de formule door (2, 5) en (6, 13)

1
We berekenden al: a = 2
2
Vul punt (2, 5) in: 5 = 2 x 2 + b
3
5 = 4 + b, dus b = 1

Formule: y = 2x + 1

Snijpunten van twee lijnen

Het snijpunt vinden:
Stel de twee formules aan elkaar gelijk en los op naar x.
Voorbeeld: Waar snijden y = 3x + 2 en y = x + 8?
1
Stel gelijk: 3x + 2 = x + 8
2
Los op: 2x = 6, dus x = 3
3
Vul x = 3 in een formule: y = 3(3) + 2 = 11

Snijpunt: (3, 11)

2. Kwadratische Verbanden - De Parabool

Wat is een kwadratisch verband?
De grafiek is een parabool (een "U" of een omgekeerde "U").
y = ax2 + bx + c
Wat bepaalt de a?

  • a is positief - parabool als een "U" (dalparabool) - "blij gezicht"
  • a is negatief - parabool ondersteboven (bergparabool) - "verdrietig gezicht"
Ezelsbruggetje:
Positief = Prettig = Blij gezichtje omhoog :-)
Negatief = Niet leuk = Verdrietig gezichtje :-(

De top van de parabool vinden

x-coordinaat van de top:

xtop = -b / (2a)
Hoe vind je de top?
  1. Bereken xtop met de formule hierboven
  2. Vul deze x in de originele formule om ytop te vinden
Voorbeeld: y = 2x2 - 8x + 5

1
a = 2, b = -8 (let op: negatief!)
2
xtop = -(-8) / (2 x 2) = 8/4 = 2
3
ytop = 2x(2)2 - 8x(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3

De top is (2, -3)

Nulpunten vinden (waar de parabool de x-as snijdt)

De abc-formule:

x = (-b +/- sqrt(b2 - 4ac)) / (2a)
Eerst de discriminant berekenen: D = b2 - 4ac

  • D > 0 - twee snijpunten met de x-as
  • D = 0 - een snijpunt (de top raakt de x-as)
  • D < 0 - geen snijpunten (parabool raakt x-as niet)

Kwadratisch herkennen in een tabel

De truc met de "tweede verschillen":

  1. Bereken eerst de verschillen tussen y-waarden (eerste verschillen)
  2. Bereken daarna de verschillen van die verschillen (tweede verschillen)
  3. Als de tweede verschillen constant zijn - kwadratisch!
Voorbeeld:

x01234
y1491625

Eerste verschillen: 3, 5, 7, 9 (niet constant!)
Tweede verschillen: 2, 2, 2 (constant!)
- Dit is kwadratisch!

3. Machtsfuncties

Wat is een machtsfunctie?
Een functie waarbij x tot een bepaalde macht wordt verheven.
y = axn
Soorten machtsfuncties:

  • n = 1: y = ax (lineair)
  • n = 2: y = ax2 (parabool)
  • n = 3: y = ax3 (derdemachtsfunctie)
  • n = -1: y = a/x (hyperbool)
  • n = 1/2: y = a * sqrt(x) (wortelfunctie)

Wortelfuncties (n = 1/2)

y = a * sqrt(x) = ax1/2
Let op bij wortelfuncties:

  • x moet >= 0 zijn (je kunt geen wortel van een negatief getal nemen)
  • De grafiek begint altijd bij de oorsprong (0, 0)
  • De grafiek stijgt snel in het begin en vlakt dan af

Hyperbolen (n = -1)

y = a/x = ax-1
Kenmerken van y = a/x:

  • Twee asymptoten: x = 0 (y-as) en y = 0 (x-as)
  • Als a > 0: de grafiek ligt in kwadrant I en III
  • Als a < 0: de grafiek ligt in kwadrant II en IV

4. Exponentiele Verbanden - Groei en Afname

Dit is SUPERBELANGRIJK voor het examen!
Exponentieel komt in bijna elk examen voor, vooral bij vragen over groei van bevolkingen, bacterien, of afname van radioactiviteit.
N = b x gt
Wat betekenen de letters?

  • N = de waarde die je zoekt (bijv. aantal mensen)
  • b = de beginwaarde (de waarde bij t = 0)
  • g = de groeifactor
  • t = de tijd

De groeifactor g begrijpen

Wat zegt de g?

  • g > 1 - het groeit (exponentiele groei)
  • g < 1 (maar groter dan 0) - het wordt minder (exponentieel verval)
  • g = 1 - het blijft gelijk (geen verandering)
SUPERBELANGRIJK: Percentage omrekenen naar groeifactor!

Als iets...Dan is g =Voorbeeld
Groeit met p%1 + p/1005% groei - g = 1,05
Afneemt met p%1 - p/10012% afname - g = 0,88
Geheugensteun:

  • 3% groei - g = 1,03 (zet de 3 achter de komma, plus 1 ervoor)
  • 15% groei - g = 1,15
  • 3% afname - g = 0,97 (100 - 3 = 97, zet komma ervoor)
  • 15% afname - g = 0,85

Groeifactor uit een tabel halen

g = volgende waarde / vorige waarde
Voorbeeld:

t0123
N100120144172,8

g = 120/100 = 1,2
Check: 144/120 = 1,2
Check: 172,8/144 = 1,2

Dus g = 1,2 - dat is 20% groei per tijdseenheid!

Verdubbelingstijd en halveringstijd

Verdubbelingstijd = hoe lang duurt het tot de waarde 2x zo groot is?
Halveringstijd = hoe lang duurt het tot de waarde gehalveerd is?
T = log(2) / log(g)
Voorbeeld: g = 1,05 per jaar

T = log(2) / log(1,05)
T = 0,301 / 0,0212 ~= 14,2 jaar

Na 14,2 jaar is de waarde verdubbeld!

De e-macht

y = b x ekt
Het getal e ~= 2,718...
Dit is het "natuurlijke groei-getal". In de natuur groeit alles volgens e.
Omrekenen: g naar k en andersom

  • k = ln(g) - van groeifactor naar exponent
  • g = ek - van exponent naar groeifactor

Hoe herken je exponentieel in een tabel?

Het verschil met lineair:

  • Lineair: de verschillen zijn constant (trek af)
  • Exponentieel: de verhoudingen zijn constant (deel)

5. Logaritmen - "De Omgekeerde van Machtsverheffen"

Wat is een logaritme?
Een logaritme is eigenlijk een vraag: "Tot welke macht moet ik dit getal verheffen?"
logg(x) = y   betekent   gy = x
In gewone taal:
log2(8) = ? betekent: "2 tot de hoeveel is 8?"
Antwoord: 23 = 8, dus log2(8) = 3

De twee soorten logaritmen op je rekenmachine

Je rekenmachine heeft maar 2 knoppen:

  • log = logaritme met grondtal 10
  • ln = logaritme met grondtal e ~= 2,718

Andere grondtallen (zoals log3) moet je omrekenen met de verwisselformule!

De belangrijkste rekenregels

1
log(a x b) = log(a) + log(b)
Vermenigvuldigen wordt optellen!
2
log(a / b) = log(a) - log(b)
Delen wordt aftrekken!
3
log(an) = n x log(a)
Macht komt naar voren!
4
log(1) = 0
Altijd! (want elk getal tot de macht 0 is 1)
PAS OP - Veelgemaakte fout!

log(a + b) != log(a) + log(b)

Er is GEEN regel voor log van een som! Dit is een van de meest gemaakte fouten op het examen!

Logaritme met een ander grondtal berekenen

De "verwisselformule":

logg(x) = log(x) / log(g)
Voorbeeld: Bereken log3(15)

log3(15) = log(15) / log(3)
= 1,176 / 0,477
~= 2,46

Exponentiele vergelijkingen oplossen met logaritmen

Voorbeeld: Los op 3x = 20
1
Neem van beide kanten de logaritme: log(3x) = log(20)
2
Gebruik de regel "macht naar voren": x x log(3) = log(20)
3
Los op: x = log(20) / log(3)
4
x = 1,301 / 0,477 ~= 2,73

Logaritmisch Papier - EXAMEN 2024/2025!

Dit komt VAAK voor op recente examens!
Je moet waarden kunnen aflezen van logaritmische assen.
Wat is logaritmisch papier?
Papier waarbij de afstanden tussen getallen NIET gelijk zijn. De afstand van 1 naar 2 is GROTER dan van 8 naar 9!
Waarom bestaat dit?

Op logaritmisch papier wordt een exponentieel verband een rechte lijn!
Dit maakt het makkelijker om exponentiele verbanden te herkennen en te analyseren.
Stappenplan: Aflezen op een log-as
1
Bepaal eerst het "hokje"
Tussen welke machten van 10 zit het punt? (bijv. tussen 10 en 100, of tussen 0,1 en 1)
2
Tel de streepjes
Elk hokje is onderverdeeld in 9 ongelijke stukken (voor 2, 3, 4, ... 9)
3
Lees de waarde af
Let op: het eerste streepje (van 1 naar 2) is het grootst!
Voorbeeld: Aflezen op een log-schaal

De as loopt van 1 tot 1000. Een punt staat net voorbij het tweede streepje na 10.

  • Hokje: tussen 10 en 100
  • Eerste streepje na 10 = 20
  • Tweede streepje na 10 = 30
  • Net voorbij 30 → ongeveer 35
Veelgemaakte fout!

NIET denken dat de streepjes gelijke afstanden zijn!
Op een log-as: de afstand van 1→2 is EVEN GROOT als de afstand van 10→20 of 100→200.
Semi-logaritmisch vs Dubbel-logaritmisch:

  • Semi-log: alleen de y-as is logaritmisch → exponentiele verbanden worden rechte lijnen
  • Dubbel-log: beide assen logaritmisch → machtsfuncties worden rechte lijnen

6. Goniometrische Functies - Sinus, Cosinus, Tangens

Dit is typisch voor Wiskunde A!
Goniometrie gaat over de relatie tussen hoeken en zijden in driehoeken, en over periodieke verschijnselen.

De eenheidscirkel

De eenheidscirkel is een cirkel met straal 1, gecentreerd in de oorsprong.

Voor een punt P op de eenheidscirkel met hoek alpha geldt:
  • x-coordinaat = cos(alpha)
  • y-coordinaat = sin(alpha)
sin2(alpha) + cos2(alpha) = 1

Radialen vs Graden

SUPERBELANGRIJK: Zet je GR op de juiste modus!

GradenRadialen
00
90pi/2
180pi
2703pi/2
3602pi
Omrekenen:

Radialen = Graden x (pi/180)

Graden = Radialen x (180/pi)

De sinusfunctie

y = a x sin(b(x - c)) + d
Wat betekenen de letters?

  • a = amplitude (hoe hoog/laag de golven gaan)
  • b = bepaalt de periode (T = 2pi/b)
  • c = horizontale verschuiving
  • d = verticale verschuiving (evenwichtsstand)
Standaard sinusfunctie y = sin(x):
1
Amplitude = 1 (van -1 tot 1)
2
Periode = 2pi (daarna herhaalt de grafiek)
3
Begint bij (0, 0) en gaat eerst omhoog

De cosinusfunctie

De cosinus is eigenlijk een verschoven sinus!

cos(x) = sin(x + pi/2)

De cosinus begint bij (0, 1) - dus op het maximum.

De tangensfunctie

tan(x) = sin(x) / cos(x)
Let op: tangens is niet gedefinieerd als cos(x) = 0!

Dit gebeurt bij x = pi/2, x = 3pi/2, etc.
Daar zitten verticale asymptoten.

Exacte waarden

Deze moet je uit je hoofd kennen:

Hoeksincostan
0010
pi/6 (30 graden)1/21/2 x sqrt(3)1/3 x sqrt(3)
pi/4 (45 graden)1/2 x sqrt(2)1/2 x sqrt(2)1
pi/3 (60 graden)1/2 x sqrt(3)1/2sqrt(3)
pi/2 (90 graden)10-

Goniometrische vergelijkingen oplossen

Voorbeeld: Los op sin(x) = 0,5 voor 0 <= x < 2pi
1
Eerste oplossing: x = arcsin(0,5) = pi/6
2
De sinus is ook 0,5 in het tweede kwadrant!
3
Tweede oplossing: x = pi - pi/6 = 5pi/6

Antwoord: x = pi/6 of x = 5pi/6
EXAMENTIP: Meerdere oplossingen!

Goniometrische vergelijkingen hebben meestal meerdere oplossingen!
Bekijk altijd het hele gevraagde interval en check alle kwadranten.

7. Grafieken Herkennen en Transformaties

Dit moet je kunnen:
Als je een grafiek ziet, moet je kunnen zeggen welk type verband het is.
Type Hoe ziet de grafiek eruit? Geheugensteun
Lineair Rechte lijn "Lineair" klinkt als "lijn"
Kwadratisch Parabool (U of omgekeerde U) Heeft een buik
Exponentieel (g>1) Eerst vlak, dan steil omhoog "Explosieve groei"
Exponentieel (g<1) Steil omlaag, dan vlak Nadert de x-as maar raakt die nooit
Logaritmisch Snel omhoog, dan steeds vlakker Het "omgekeerde" van exponentieel
Sinusoid Golfbeweging, herhalend Periodiek, heeft amplitude

Transformaties van grafieken

Hoe verandert de grafiek van f(x)?
1
f(x) + k - grafiek gaat k omhoog (verticale verschuiving)
2
f(x - h) - grafiek gaat h naar rechts (horizontale verschuiving)
3
a x f(x) - grafiek wordt |a| keer zo hoog (verticale schaling)
4
f(bx) - grafiek wordt 1/|b| keer zo breed (horizontale schaling)
5
-f(x) - grafiek spiegelt in de x-as
6
f(-x) - grafiek spiegelt in de y-as
Let op: Horizontaal werkt "tegengesteld"!

  • f(x - 3) verschuift naar rechts (niet links!)
  • f(2x) maakt de grafiek smaller (niet breder!)

Asymptoten

Wat is een asymptoot?
Een lijn waar de grafiek steeds dichterbij komt, maar die hij nooit bereikt.
Voorbeelden:

  • y = 2x heeft een horizontale asymptoot y = 0 (de x-as)
  • y = 1/x heeft asymptoten x = 0 en y = 0
  • y = tan(x) heeft verticale asymptoten bij x = pi/2, 3pi/2, ...

Helling in een punt - De Raaklijn met GR

EXAMEN-ESSENTIEEL: dy/dx en Tangent op je GR!
Hiermee bepaal je de helling (= snelheid van verandering) in een punt.
TI-84: Helling berekenen met dy/dx
1
Voer de functie in bij Y1
2
Druk op 2nd CALC (boven TRACE)
3
Kies 6: dy/dx
4
Voer de x-waarde in waar je de helling wilt weten
5
De GR geeft de helling (= afgeleide in dat punt)
TI-84: Raaklijn tekenen met Tangent
1
Teken de grafiek (GRAPH)
2
Druk op 2nd DRAW
3
Kies 5: Tangent(
4
Klik op het punt waar je de raaklijn wilt
SIGNAALWOORD: "Snelheid van verandering"

Als in een examenvraag staat: "Bereken de snelheid van verandering..."

Dit betekent ALTIJD: bereken de afgeleide!

  • "Snelheid van verandering op t = 5" → bereken f'(5)
  • "Hoe snel verandert..." → bereken de afgeleide
  • "Wat is de helling van de grafiek..." → bereken de afgeleide
Examenvraag-voorbeeld:

"De hoogte h van een plant wordt gegeven door h(t) = 50 - 40 x 0,9t.
Bereken de snelheid van verandering van de hoogte op t = 3."

Antwoord: Gebruik dy/dx op je GR met x = 3, of bereken h'(3).
Dit geeft de groeisnelheid van de plant op dat moment.

8. Vergelijkingen en Ongelijkheden

Dit komt ALTIJD op het examen!
Je moet verschillende soorten vergelijkingen kunnen oplossen.

Snijpunten van grafieken

Stappenplan:
1
Stel de twee functies aan elkaar gelijk: f(x) = g(x)
2
Los de vergelijking op (algebraisch of met GR)
3
Vul de x-waarden in om de y-waarden te vinden

Ongelijkheden oplossen met de grafiek

Voorbeeld: Voor welke x geldt f(x) > g(x)?

  1. Teken (of schets) beide grafieken
  2. Vind de snijpunten
  3. Bepaal waar de grafiek van f BOVEN die van g ligt
  4. Geef het antwoord als interval(len)
GR-TIP: Snijpunten vinden

  • TI-84: 2nd CALC - 5:intersect
  • Selecteer de twee curven en geef een "guess"
  • Herhaal voor elk snijpunt!

Vergelijkingen algebraisch oplossen

Typen vergelijkingen:
1
Lineair: ax + b = 0 - direct oplossen
2
Kwadratisch: ax2 + bx + c = 0 - abc-formule of ontbinden
3
Exponentieel: gx = k - logaritme nemen
4
Logaritmisch: log(x) = k - herschrijven als 10k = x

9. Grenswaarden - "Wat gebeurt er als x heel groot wordt?"

Dit vraagtype komt BIJNA ALTIJD op het examen!
"Beredeneer wat de grenswaarde is als t heel groot wordt."
Stappenplan:
1
Zoek de exponentiele termen (iets tot de macht t)
2
Bepaal wat er met die term gebeurt:
- Als grondtal > 1: de term wordt heel groot
- Als grondtal < 1: de term wordt bijna 0
3
Vul dit in en vereenvoudig
Voorbeeld: N(t) = 450 / (1 + 2,72-0,307t)

1
De exponentiele term is 2,72-0,307t
2
De exponent is negatief! Als t groter wordt, wordt -0,307t een grote negatieve waarde, dus 2,72iets heel negatiefs wordt bijna 0
3
De noemer wordt: 1 + 0 = 1
Dus N(t) nadert 450/1 = 450
Standaardzinnen voor je antwoord:

"Als t heel groot wordt, nadert [de term] tot 0."
"De noemer/teller nadert dan tot [waarde]."
"De grenswaarde is [eindantwoord]."

Signaalwoorden op het Examen

Herken deze woorden en weet wat je moet doen!
Signaalwoord Wat moet je doen?
"Bereken exact" Geen kommagetallen! Gebruik algebra, breuken, wortels.
"Beredeneer" Schrijf een redenering in WOORDEN. "Als t groter wordt, dan..."
"Snelheid van verandering" Dit betekent ALTIJD: bereken de AFGELEIDE!
"Stel een formule op" Bepaal type verband (lineair/exp) en vind de parameters.
"Wat is de grenswaarde" Kijk wat er gebeurt als t/x naar oneindig gaat.
"Lees af" / "Schat" Gebruik de grafiek, niet algebra! Let op log-assen!
"Onderzoek of" Maak berekening EN geef antwoord: Ja/Nee met onderbouwing.

Samenvatting - Hoe herken je het type?

Check dit in de tabel... Dan is het...
Eerste verschillen constant Lineair
Tweede verschillen constant Kwadratisch
Verhoudingen constant (steeds delen) Exponentieel
Herhalend patroon (periodiek) Goniometrisch
Top 6 fouten om te vermijden:

  1. Bij exponentieel: percentage en groeifactor door elkaar halen (5% != g = 5)
  2. log(a + b) = log(a) + log(b) schrijven (FOUT!)
  3. Bij de abc-formule: het minteken bij b vergeten
  4. Vergeten dat log(x) alleen bestaat voor x > 0
  5. Bij goniometrie: niet alle oplossingen geven
  6. GR op verkeerde modus (graden vs radialen)
Laatste tip:

Bij contextvragen (bevolkingsgroei, afkoeling, etc.):
  • Lees goed wat t = 0 betekent (welk jaar/tijdstip?)
  • Check de eenheden (per jaar? per maand?)
  • Geef je antwoord in context ("in 2030" in plaats van "t = 10")