Wiskunde C VWO - Domein G: Vorm en Ruimte

Examen Strategie - Domein G MAKKELIJKE PUNTEN!

ULTIEME TIP: Lees vragen over Vorm en Ruimte (G) en Logica (F) ALTIJD EERST!

Deze bevatten vaak 3 of 4 punten per vraag en zijn met gezond verstand en goed kijken vaak makkelijker op te lossen dan complexe formules.

Prioriteit voor een voldoende:

6. Perspectief en Aanzichten - Tekenvragen op de bijlage!
Voor iemand die niet goed is in rekenen is dit een fijne afwisseling waar je veel punten kunt pakken met een liniaal.

Benodigdheden:
- Liniaal (voor rechte lijnen en meten)
- Geodriehoek (voor hoeken en evenwijdige lijnen)
- Potlood (om te kunnen uitgummen)

Tip: Oefen thuis met het tekenen van aanzichten en perspectieftekeningen!

Stelling van Pythagoras

De formule

a² + b² = c²

In een rechthoekige driehoek:

a, b = rechthoekszijden (bij de rechte hoek)
c = schuine zijde (hypotenusa, de langste)

Alleen geldig bij rechthoekige driehoeken!

Schuine zijde berekenen

c = √(a² + b²)

Gegeven: a = 3, b = 4
c = √(9 + 16) = √25 = 5

Rechthoekszijde berekenen

a = √(c² - b²)

Gegeven: b = 5, c = 13
a = √(169 - 25) = √144 = 12

Let op: Bij rechthoekszijde: AFTREKKEN!

Bekende Pythagoras-drietallen

3, 4, 5 5, 12, 13 8, 15, 17 7, 24, 25

En alle veelvouden! (6,8,10), (9,12,15), ...

Tip: Ken deze uit je hoofd - scheelt rekentijd!

Omgekeerde stelling

Als a² + b² = c², dan is de driehoek rechthoekig.

Test: Driehoek met zijden 6, 8, 10
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² ✓
Conclusie: Rechthoekig!

Afstand in het platte vlak

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Afstand tussen punten (x₁, y₁) en (x₂, y₂)

Van (1,2) naar (4,6):
d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9+16) = √25 = 5

Gulden Snede

Het gulden getal φ (phi)

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618

φ ≈ 1,618...

Ken deze waarde! Vaak nodig op het examen.

Definitie gulden snede

Een lijnstuk AB wordt in gulden snede verdeeld door punt C als:

AB/AC = AC/CB = φ

Het grote deel staat tot het kleine zoals het geheel tot het grote.

Eigenschappen van φ

φ² = φ + 1 ≈ 2,618
1/φ = φ - 1 ≈ 0,618
φ × 0,618 = 1

Handige rekentruc:
1/φ ≈ 0,618 (precies φ - 1)

Gulden rechthoek

Rechthoek met zijden in verhouding 1 : φ

Wordt als "mooi" ervaren
Komt voor in kunst en architectuur
Als je een vierkant eraf haalt, blijft weer een gulden rechthoek over!

Fibonacci en gulden getal

De verhouding van opeenvolgende Fibonacci-getallen nadert φ:

F_n+1/F_n	Waarde
2/1	2,000
3/2	1,500
5/3	1,667
8/5	1,600
13/8	1,625
21/13	1,615
→ ∞	→ φ ≈ 1,618

Gulden snede in de natuur

Zonnebloemen (spiralen) - examenvraag 2025!
Schelpen (nautilus)
Dennenkegels
Verhoudingen menselijk lichaam

Perspectieftekeningen

Wat is perspectief?

Een manier om 3D-objecten op een 2D-vlak te tekenen zodat ze ruimtelijk lijken.

Verder weg = kleiner
Evenwijdige lijnen komen samen in verdwijnpunt

Begrippen

Term	Betekenis
Horizon	Lijn op ooghoogte
Verdwijnpunt	Punt waar evenwijdige lijnen samenkomen
Grondlijn	Onderrand van het beeldvlak
Oogpunt	Positie van de kijker

Eénpuntsperspectief

Eén verdwijnpunt op de horizon.

Lijnen loodrecht op het beeldvlak → naar verdwijnpunt
Horizontale en verticale lijnen → blijven horizontaal/verticaal

Voorbeeld: Gang, weg, spoorweg (recht vooruit kijkend)

Tweepuntsperspectief

Twee verdwijnpunten op de horizon.

Hoek van gebouw kijkend
Twee zijden zichtbaar, elk met eigen verdwijnpunt
Verticale lijnen blijven verticaal

Perspectiefvergrotingen

Hoe objecten kleiner worden met de afstand:

schijnbare grootte ∝ 1/afstand

Examenvraag type (Turm/Trappen 2025):
Object op afstand d lijkt half zo groot op afstand 2d.

Trappen en perspectief (Examen 2025)

Bij trappen in perspectief:

Optrede (hoogte trap) blijft verhoudingsgewijs gelijk
Aantrede (diepte trap) verkort naar verdwijnpunt
Elke trede lijkt smaller dan de vorige

Strategie: Gebruik gelijkvormige driehoeken om verhoudingen te berekenen.

Ruimtefiguren

Kubus

6 gelijke vierkante vlakken
12 ribben (alle gelijk)
8 hoekpunten

Ruimtediagonaal:

d = a√3

waarbij a = ribbe

Balk (rechthoekig prisma)

6 rechthoekige vlakken
Afmetingen: l × b × h

Ruimtediagonaal:

d = √(l² + b² + h²)

Piramide

Grondvlak + zijvlakken (driehoeken)
Eén top
Rechte piramide: top recht boven middelpunt grondvlak

Inhoud:

V = ⅓ × G × h

Kegel

Cirkelvormig grondvlak
Eén top

Inhoud:

V = ⅓ × π × r² × h

Cilinder

2 cirkelvormige vlakken
Mantelvlak (rechthoek als je uitrolt)

Inhoud: V = π × r² × h

Mantel: M = 2π × r × h

Bol

Inhoud:

V = ⁴⁄₃ × π × r³

Oppervlakte:

O = 4 × π × r²

Oppervlakte en Inhoud

Oppervlakte vlakke figuren

Figuur	Formule
Rechthoek	O = l × b
Vierkant	O = z²
Driehoek	O = ½ × b × h
Parallellogram	O = b × h
Trapezium	O = ½(a+b) × h
Cirkel	O = π × r²

Inhoud ruimtefiguren

Figuur	Formule
Balk	V = l × b × h
Kubus	V = a³
Prisma	V = G × h
Cilinder	V = π × r² × h
Piramide	V = ⅓ × G × h
Kegel	V = ⅓ × π × r² × h
Bol	V = ⁴⁄₃ × π × r³

Schaalfactor

Bij vergroting/verkleining met factor k:

Lengtes: × k
Oppervlaktes: × k²
Inhouden: × k³

Voorbeeld: Kubus 2× zo groot (k=2)
Ribben: 2× zo lang
Oppervlakte: 4× zo groot
Inhoud: 8× zo groot

Gelijkvormigheid

Twee figuren zijn gelijkvormig als:

Alle hoeken gelijk
Alle zijden in dezelfde verhouding

Bij gelijkvormige driehoeken:
Verhoudingen van overeenkomstige zijden zijn gelijk!

Formule Overzicht - Domein G

Pythagoras a² + b² = c²

Afstand: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Gulden getal φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618

φ² = φ + 1
1/φ = φ - 1 ≈ 0,618

Ruimtediagonalen Kubus: d = a√3

Balk: d = √(l²+b²+h²)

Piramide/Kegel V = ⅓ × G × h

Bol V = ⁴⁄₃πr³

O = 4πr²

Schaalfactor k Lengte: × k
Oppervlakte: × k²
Inhoud: × k³

Meest gemaakte fouten:
1. Pythagoras gebruiken bij niet-rechthoekige driehoek
2. φ ≈ 1,618 vergeten (ken dit getal!)
3. Bij piramide/kegel: factor ⅓ vergeten
4. Schaalfactor: k² voor oppervlakte, k³ voor inhoud
5. Perspectief: verdwijnpunt vergeten te gebruiken

Examentips Domein G

Examenvragen 2025: Perspectief

De Turm en Trappen opgaven waren perspectiefvragen:

Lees de situatie goed - waar is het oogpunt?
Teken een hulpschets als dat helpt
Gebruik gelijkvormige driehoeken voor verhoudingen
Let op: schijnbare grootte ∝ 1/afstand

Strategie bij ruimtefiguren

Stappenplan:

1. Maak een schets van de figuur

2. Zoek rechthoekige driehoeken (voor Pythagoras)

3. Schrijf bekende waarden bij de schets

4. Kies de juiste formule

5. Rond pas aan het EINDE af

Gulden snede herkennen

Signaalwoorden in de tekst:
• "gulden snede" / "gulden getal"
• "verhouding 1 : 1,618"
• "Fibonacci"
• "φ" (phi)
• "esthetisch" / "mooi" / "harmonieus"

Dan: gebruik φ ≈ 1,618 of 1/φ ≈ 0,618