Wiskunde C VWO - Domein F: Logisch Redeneren

Examen Strategie - Domein F MAKKELIJKE PUNTEN!

ULTIEME TIP: Lees vragen over Logica (F) en Vorm en Ruimte (G) ALTIJD EERST!

Deze bevatten vaak 3 of 4 punten per vraag en zijn met gezond verstand en goed kijken vaak makkelijker op te lossen dan complexe formules.

Prioriteitsvolgorde voor een voldoende:

2. Venn-diagrammen - Vragen over wie de dader is of het invullen van gebieden. Dit is "puzzelen" en vereist minder rekenwerk!

4. Logische Symbolen - Vertalen van zinnen naar symbolen. Als je de tabel uit je hoofd leert = gratis punten!

Logische Symbolen

EN (conjunctie)

∧

p ∧ q = "p EN q"

Waar als beide waar zijn.

Voorbeeld: "Het regent EN het waait"
Alleen waar als het allebei tegelijk gebeurt.

OF (disjunctie)

∨

p ∨ q = "p OF q"

Waar als minstens één waar is.

Voorbeeld: "Het regent OF het waait"
Waar als het regent, als het waait, of als beide.

Let op: Dit is de "inclusieve of" - beide mogen ook waar zijn!

NIET (negatie)

¬

¬p = "NIET p"

Waar als p onwaar is, en andersom.

Voorbeeld: p = "Het regent"
¬p = "Het regent niet"

ALS...DAN (implicatie)

⇒

p ⇒ q = "ALS p, DAN q"

Alleen onwaar als p waar is en q onwaar.

Voorbeeld: "Als het regent, dan is de straat nat"
p = het regent, q = straat is nat

Valkuil: p ⇒ q is WAAR als p onwaar is!
"Als varkens vliegen, dan ben ik koning" is logisch waar.

DAN EN SLECHTS DAN ALS (equivalentie)

⇔

p ⇔ q = "p DAN EN SLECHTS DAN ALS q"

Waar als p en q dezelfde waarheidswaarde hebben.

Betekent: (p ⇒ q) EN (q ⇒ p)
Beide richtingen moeten kloppen!

Overzicht symbolen

Symbool	Naam	Betekenis
∧	Conjunctie	EN
∨	Disjunctie	OF
¬	Negatie	NIET
⇒	Implicatie	ALS...DAN
⇔	Equivalentie	DAN EN SLECHTS DAN ALS

Uitspraken en Waarheidstabellen

Waarheidstabel: EN (∧)

p	q	p ∧ q
W	W	W
W	O	O
O	W	O
O	O	O

W = Waar, O = Onwaar

Waarheidstabel: OF (∨)

p	q	p ∨ q
W	W	W
W	O	W
O	W	W
O	O	O

Waarheidstabel: ALS...DAN (⇒)

p	q	p ⇒ q
W	W	W
W	O	O
O	W	W
O	O	W

Onthoud: p ⇒ q is alleen ONWAAR als p waar is en q onwaar!

Waarheidstabel maken

Stappenplan:

1. Schrijf alle mogelijke combinaties van p en q

2. Werk van binnen naar buiten

3. Bereken eerst ¬p, ¬q als die voorkomen

4. Combineer met ∧, ∨, ⇒

Venn-diagrammen

Wat is een Venn-diagram?

Een visuele weergave van verzamelingen en hun relaties.

A (links) en B (rechts) met overlap in het midden

Gebieden in Venn-diagram

A ∩ B (doorsnede): het overlappende deel - "A EN B"
A ∪ B (vereniging): alles in A of B of beide - "A OF B"
A \ B (verschil): alleen in A, niet in B
A' of Ā (complement): alles BUITEN A

Aantallen berekenen

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Voorbeeld:
30 leerlingen houden van voetbal (A)
25 leerlingen houden van hockey (B)
10 leerlingen houden van beide

Totaal: 30 + 25 - 10 = 45 leerlingen

Let op: Trek de overlap af, anders tel je dubbel!

Drie verzamelingen

Bij drie cirkels (A, B, C) zijn er 8 gebieden:

Alleen A, alleen B, alleen C
A∩B (niet C), A∩C (niet B), B∩C (niet A)
A∩B∩C (midden)
Buiten alles

Tip: Vul altijd eerst het midden (A∩B∩C) in, dan werk je naar buiten!

Venn-diagram en logica

Logica	Verzamelingen	Venn
p ∧ q	A ∩ B	Overlap
p ∨ q	A ∪ B	Alles gekleurd
¬p	A'	Buiten A
p ⇒ q	A ⊆ B	A zit in B

Noodzakelijk en Voldoende Voorwaarden

Voldoende voorwaarde

p ⇒ q

p is voldoende voor q

"Als p waar is, dan is q zeker ook waar"

Voorbeeld: "Regen is voldoende voor natte straat"
Als het regent, is de straat nat.
(Maar de straat kan ook nat zijn zonder regen!)

Noodzakelijke voorwaarde

q ⇒ p of ¬p ⇒ ¬q

p is noodzakelijk voor q

"Zonder p kan q niet waar zijn"

Voorbeeld: "Benzine is noodzakelijk om te rijden"
Zonder benzine kun je niet rijden.
(Maar met benzine kun je nog steeds stil staan!)

Noodzakelijk EN Voldoende

p ⇔ q

p is noodzakelijk én voldoende voor q

p en q zijn logisch equivalent!

Voorbeeld: "Een getal is even ⇔ het is deelbaar door 2"

Ezelsbruggetje

p ⇒ q betekent:
• p is VOLDOENDE voor q (p doet het)
• q is NOODZAKELIJK voor p (zonder q geen p)

Denk aan:
"Regen ⇒ natte straat"
• Regen is voldoende voor natte straat
• Natte straat is noodzakelijk bij regen

Samenvatting

Als...	Dan is p...
p ⇒ q	Voldoende voor q
q ⇒ p	Noodzakelijk voor q
p ⇔ q	Noodzakelijk én voldoende voor q

Redeneervormen

Modus Ponens (Geldig!)

p ⇒ q, p ⊢ q

"Als p dan q. p is waar. Dus q is waar."

Voorbeeld:
Als het regent, is de straat nat. (p ⇒ q)
Het regent. (p)
Conclusie: De straat is nat. (q) ✓

Modus Tollens (Geldig!)

p ⇒ q, ¬q ⊢ ¬p

"Als p dan q. q is niet waar. Dus p is niet waar."

Voorbeeld:
Als het regent, is de straat nat. (p ⇒ q)
De straat is droog. (¬q)
Conclusie: Het regent niet. (¬p) ✓

Drogreden: Affirmatie van de consequent (ONGELDIG!)

p ⇒ q, q ⊬ p

"Als p dan q. q is waar. Dus p is waar." FOUT!

Voorbeeld:
Als het regent, is de straat nat.
De straat is nat.
Foute conclusie: Het regent. ✗
(De straat kan ook nat zijn door een tuinslang!)

Drogreden: Ontkenning van de antecedent (ONGELDIG!)

p ⇒ q, ¬p ⊬ ¬q

"Als p dan q. p is niet waar. Dus q is niet waar." FOUT!

Voorbeeld:
Als het regent, is de straat nat.
Het regent niet.
Foute conclusie: De straat is niet nat. ✗
(Iemand kan de straat schoonspuiten!)

Contrapositie

p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p

De contrapositie is logisch equivalent aan het origineel!

Origineel: "Als het regent, is de straat nat"
Contrapositie: "Als de straat droog is, regent het niet"
Deze zeggen precies hetzelfde!

Omkering (NIET equivalent!)

p ⇒ q ≢ q ⇒ p

De omkering is NIET hetzelfde!

Origineel: "Als het regent, is de straat nat"
Omkering: "Als de straat nat is, regent het"
De omkering is NIET altijd waar!

Onthoud: Contrapositie (¬q ⇒ ¬p) is WEL equivalent!
Omkering (q ⇒ p) is NIET equivalent!

Overzicht - Domein F

Symbolen ∧ = EN
∨ = OF
¬ = NIET
⇒ = ALS...DAN
⇔ = DAN EN SLECHTS DAN ALS

Venn-diagram formule |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Geldige redeneervormen • Modus Ponens: p⇒q, p ⊢ q
• Modus Tollens: p⇒q, ¬q ⊢ ¬p
• Contrapositie: p⇒q ≡ ¬q⇒¬p

Voorwaarden p ⇒ q betekent:
• p is VOLDOENDE voor q
• q is NOODZAKELIJK voor p

Meest gemaakte fouten:
1. p ⇒ q verwarren met q ⇒ p (omkering is NIET gelijk!)
2. Affirmatie consequent: uit "p⇒q en q" volgt NIET p
3. OF is inclusief: p ∨ q is ook waar als beide waar zijn
4. Bij Venn: overlap dubbel tellen
5. Noodzakelijk/voldoende omdraaien

Examentips Domein F

Examenvraag 2025: Loterijloten

Dit type vraag komt vaak voor! Tips:

Vertaal de tekst naar symbolen (p, q, ⇒)
Maak een waarheidstabel als het complex wordt
Check of de redenering geldig is (Modus Ponens/Tollens?)
Let op drogredenen!

Strategie bij logica-vragen

Stappenplan:

1. Identificeer de uitspraken (p, q, r...)

2. Schrijf de logische structuur op met symbolen

3. Controleer welke redeneervorm wordt gebruikt

4. Is het geldig? (Ponens/Tollens = ja, anders = nee)

5. Formuleer je conclusie in woorden

Venn-diagram strategie

Bij 3 verzamelingen:
1. Begin ALTIJD met A∩B∩C (het midden)
2. Dan de twee-overlappen (A∩B, A∩C, B∩C)
3. Dan de "alleen A", "alleen B", "alleen C"
4. Controleer of totaal klopt
5. Vergeet "buiten alles" niet!