Domein B: Algebra en Tellen

Wiskunde C VWO - Centraal Examen
Terug naar overzicht Domein C: Verbanden

Examen Strategie - Domein B (Tellen/Combinatoriek)

Scoreverlopen - Ontbrekende strategie in veel overzichten:

Bij vragen over "Op hoeveel manieren kan..." moet je vaak systematisch uitschrijven OF faculteiten gebruiken.

Voorbeeld (Examen 2025):
"Op hoeveel manieren kan een tenniswedstrijd eindigen in 6-4?"

Aanpak:
1. De winnaar wint het 10e game (staat vast)
2. Van de eerste 9 games wint de winnaar er 5
3. Aantal manieren = C(9,5) = 9!/(5! x 4!) = 126
Wanneer welke methode?
- Volgorde belangrijk (eerste, tweede, derde): Vermenigvuldigen of Permutaties
- Volgorde niet belangrijk (team samenstellen): Combinaties C(n,k)
- Klein aantal mogelijkheden: Systematisch uitschrijven (boomdiagram)
- Met herhaling: n^k (bijv. wachtwoord met 4 cijfers = 10^4)

B1: Rekenen en Algebra

Machten en Wortels
am × an = am+n

Belangrijke rekenregels:

  • am ÷ an = am-n
  • (am)n = am×n
  • a0 = 1 (voor a ≠ 0)
  • a-n = 1/an
  • a½ = √a
Breuken met machten
  • (a/b)n = an/bn
  • (a × b)n = an × bn
Voorbeeld: (2/3)4 = 24/34 = 16/81
Wetenschappelijke notatie

Schrijf getallen als: a × 10n

waarbij 1 ≤ a < 10

Voorbeelden:
• 3.400.000 = 3,4 × 106
• 0,00025 = 2,5 × 10-4
Geheugensteun:
• Groot getal → positieve macht
• Klein getal (0,00...) → negatieve macht
Percentage berekeningen
  • Stijging van p%: vermenigvuldig met (1 + p/100)
  • Daling van p%: vermenigvuldig met (1 - p/100)
Voorbeeld: 15% stijging → vermenigvuldig met 1,15
Voorbeeld: 8% daling → vermenigvuldig met 0,92
Let op bij meerdere percentages!
Eerst 20% stijging, dan 10% daling = 1,20 × 0,90 = 1,08 = 8% stijging
(Niet 20% - 10% = 10%!)

Faculteit (n!)

Definitie Faculteit
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Betekenis: Het product van alle gehele getallen van n tot 1.

Voorbeelden
  • 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 3! = 3 × 2 × 1 = 6
  • 2! = 2 × 1 = 2
  • 1! = 1
  • 0! = 1 (per definitie!)
Vaak vergeten: 0! = 1, niet 0!
Handige rekentruc
n! = n × (n-1)!
Voorbeeld: 7!/5! = (7 × 6 × 5!)/5! = 7 × 6 = 42
Tip: Bij breuken met faculteiten kun je vaak delen wegstrepen!
Parate kennis faculteiten
Ken uit je hoofd:

0! = 1    |    1! = 1    |    2! = 2
3! = 6    |    4! = 24    |    5! = 120
6! = 720    |    7! = 5040

Permutaties

Wat is een permutatie?

Een permutatie is een rangschikking van objecten waarbij de volgorde wél uitmaakt.

Ezelsbruggetje: Permutatie = Plek belangrijk = Volgorde belangrijk
Alle objecten rangschikken
Aantal permutaties van n objecten = n!
Vraag: Op hoeveel manieren kunnen 5 personen in een rij staan?
Antwoord: 5! = 120 manieren
k objecten kiezen uit n (volgorde belangrijk)
P(n,k) = n!/(n-k)!

Ook wel geschreven als: nPk

Vraag: 3 personen kiezen uit 8 voor 1e, 2e, 3e plaats. Hoeveel mogelijkheden?
Antwoord: P(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8 × 7 × 6 = 336
Alternatieve berekening

Je kunt ook direct rekenen met vermenigvuldigen:

Stappenplan:
1e plek: n keuzes
2e plek: (n-1) keuzes
3e plek: (n-2) keuzes
...enzovoort tot je k plekken hebt gevuld
Voorbeeld: 3 kiezen uit 8
8 × 7 × 6 = 336 (3 factoren, startend bij 8)
Herhaalde objecten
n! / (n₁! × n₂! × ... × nk!)

Als sommige objecten identiek zijn.

Vraag: Hoeveel verschillende woorden kun je maken met de letters van "MAMA"?
Antwoord: 4 letters, waarvan 2×M en 2×A
4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6

Combinaties

Wat is een combinatie?

Een combinatie is een selectie van objecten waarbij de volgorde NIET uitmaakt.

Ezelsbruggetje: Combinatie = Combi = Groepje = Volgorde niet belangrijk
Formule: n boven k (binomiaalcoëfficiënt)
C(n,k) = (n k) = n! / (k! × (n-k)!)

Uitspraak: "n boven k" of "n kies k"

Notatie op examen: (nk) of C(n,k) of nCk
Rekenvoorbeeld
Vraag: Op hoeveel manieren kun je 3 personen kiezen uit een groep van 8?
Antwoord:
(8 3) = 8! / (3! × 5!)
= (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1)
= 336 / 6
= 56
Handige eigenschappen
  • (n 0) = 1 (niets kiezen = 1 manier)
  • (n n) = 1 (alles kiezen = 1 manier)
  • (n 1) = n (1 ding kiezen = n manieren)
  • (n k) = (n n-k) (symmetrie!)
De symmetrie-regel is handig!
(100 98) = (100 2) = (100 × 99)/2 = 4950
Veel sneller dan (100 98) direct uitrekenen!
Permutatie vs Combinatie
BELANGRIJK: Wanneer welke gebruiken?

Permutatie (volgorde belangrijk):
• Wedstrijden: 1e, 2e, 3e plaats
• Codes, wachtwoorden
• Rangschikkingen in een rij

Combinatie (volgorde niet belangrijk):
• Teams samenstellen
• Commissies vormen
• Loten trekken
• "Hoeveel groepjes van..."

Driehoek van Pascal

De driehoek
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Hoe bouw je hem op?
  1. Begin met 1 bovenaan
  2. Elk getal = som van de twee getallen erboven
  3. Randen zijn altijd 1
Voorbeeld: 10 = 4 + 6 (de twee getallen erboven)
Verband met binomiaalcoëfficiënten

Rij n bevat alle waarden van (n k)

Rij 4: 1, 4, 6, 4, 1
= (4 0), (4 1), (4 2), (4 3), (4 4)
Let op: Tel rijen vanaf 0!
Rij 0 = bovenste rij = alleen "1"
Pascal-regel
(n k) = (n-1 k-1) + (n-1 k)

Dit is precies de "twee erboven optellen"-regel!

Rijsommen

De som van alle getallen in rij n:

Som van rij n = 2n
Rij 4: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

Binomium van Newton

De formule
(a + b)n = Σ (n k) × an-k × bk

De som loopt van k = 0 tot k = n

Uitgeschreven voorbeelden
  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Zie je het patroon?
De coëfficiënten zijn precies de rijen van Pascal!
Eén specifieke term vinden

De term met bk in (a+b)n is:

(n k) × an-k × bk
Vraag: Wat is de term met x³ in (2+x)⁵?
Antwoord: k = 3, dus:
(5 3) × 2² × x³ = 10 × 4 × x³ = 40x³
Met minteken: (a - b)n

Vervang b door -b, dan wisselen de tekens:

  • (a-b)² = a² - 2ab + b²
  • (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
  • (a-b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴
Patroon: Tekens wisselen: +, -, +, -, ...
Even macht van b → plus
Oneven macht van b → min
Stappenplan: (a+b)n uitwerken
1. Schrijf rij n van Pascal op
2. Begin met an, macht van a daalt steeds met 1
3. Begin met b⁰, macht van b stijgt steeds met 1
4. Vermenigvuldig elke term met het bijbehorende Pascal-getal
(a+b)³:
Pascal rij 3: 1, 3, 3, 1
1×a³ + 3×a²b + 3×ab² + 1×b³

Formule Overzicht - Domein B

Faculteit n! = n × (n-1) × ... × 1

0! = 1
Permutatie (volgorde belangrijk) P(n,k) = n!/(n-k)!

Alle n objecten: n!
Combinatie (volgorde niet belangrijk) C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

Notatie: (n k)
Pascal-regel (n k) = (n-1 k-1) + (n-1 k)
Symmetrie (n k) = (n n-k)
Binomium van Newton (a+b)n = Σ (n k) an-k bk
Meest gemaakte fouten:
1. 0! = 0 (fout! het is 0! = 1)
2. Permutatie en combinatie door elkaar halen
3. Vergeten dat (n k) = (n n-k) (symmetrie)
4. Bij Pascal: rijen tellen vanaf 1 i.p.v. 0
5. Bij (a-b)n: tekens verkeerd

Tips voor het Examen

Herken het vraagtype
Vraag jezelf af:
Is volgorde belangrijk?
Ja → Permutatie
Nee → Combinatie
Worden alle objecten gebruikt?
Ja → n!
Nee → P(n,k) of C(n,k)
Zijn er herhalingen?
Ja → Deel door de faculteiten van de herhalingen
Typische examenvragen
  • Quizvraag: "Op hoeveel manieren kun je 4 vragen kiezen uit 10?" → Combinatie
  • Wedstrijd: "Hoeveel mogelijke uitslagen voor top 3 uit 12 deelnemers?" → Permutatie
  • Woorden: "Hoeveel woorden met letters AABBCC?" → Permutatie met herhaling
  • Loterij: "6 getallen kiezen uit 45" → Combinatie
Rekenmachine-tip
Op de grafische rekenmachine:
• nPr voor permutaties
• nCr voor combinaties
• n! via MATH menu

Oefen dit VOOR het examen!