Wiskunde C VWO - Domein D: Veranderingen

Examen Strategie - Domein D

Prioriteit voor een voldoende:

5. Rijen (Recursief en Direct) - Vaak gevraagd om een stap-voor-stap formule op te schrijven.

Belangrijkste tip: Dit is vaak gewoon de tekst letterlijk volgen!
Lees de context goed en vertaal naar: u_n = u_n-1 + ...

Examenvraag type:
"Schrijf een recursieve formule voor..." = Beschrijf hoe je van de ene stap naar de volgende gaat.
"Schrijf een directe formule voor..." = Beschrijf hoe je direct de n-de term berekent.

Verandergedrag Beschrijven

Wat is verandergedrag?

Beschrijven hoe een grootheid verandert over tijd of een andere variabele.

Stijgt de waarde? Daalt de waarde?
Hoe snel gaat de verandering?
Wordt de verandering sneller of langzamer?

Termen om te gebruiken

Term	Betekenis
Stijgend / Toenemend	Waarde gaat omhoog
Dalend / Afnemend	Waarde gaat omlaag
Constant	Waarde blijft gelijk
Steeds sneller stijgend	Stijging versnelt (convex)
Steeds langzamer stijgend	Stijging vertraagt (concaaf)
Maximum / Minimum	Hoogste / laagste punt

Aflezen uit grafiek

Stijgend: grafiek gaat omhoog (van links naar rechts)
Dalend: grafiek gaat omlaag
Snelheid verandering: hoe steil is de grafiek?

Tip: Steiler = snellere verandering!

Buigpunt

Punt waar het verandergedrag omslaat:

Van "steeds sneller stijgend" naar "steeds langzamer stijgend"
Of andersom

Voorbeeld: Bij de S-curve (logistisch) is er een buigpunt waar de groei van versnellend naar vertragend gaat.

Toenemen en Afnemen

Absolute toename

Δy = y₂ - y₁

Het verschil in y-waarde.

Voorbeeld: Van 100 naar 150
Absolute toename = 150 - 100 = 50

Relatieve toename (procentueel)

Relatieve toename = (Δy / y₁) × 100%

De toename ten opzichte van de beginwaarde.

Voorbeeld: Van 100 naar 150
Relatieve toename = (50/100) × 100% = 50%

Gemiddelde verandering

Gem. verandering = Δy / Δx

Dit is de richtingscoëfficiënt van de lijn door twee punten.

Voorbeeld: Temperatuur stijgt van 20°C (t=0) naar 35°C (t=5)
Gem. verandering = (35-20)/(5-0) = 15/5 = 3°C per uur

Verschil lineair vs exponentieel

Lineair	Exponentieel
Constante absolute toename	Constante relatieve toename (%)
+10 per stap	×1,1 per stap (10% groei)
y = ax + b	y = b × g^x

Let op bij examen!
"Elke jaar 5 meer" = lineair
"Elk jaar 5% meer" = exponentieel

Rijen (Getallenrijen)

Wat is een rij?

Een geordende lijst van getallen volgens een bepaald patroon.

u₁ → u₂ → u₃ → u₄ → ...

u_n = de n-de term van de rij

Rekenkundige rij (lineair)

Elk volgend getal: vast getal optellen

3 +5→ 8 +5→ 13 +5→ 18

u_n = u₁ + (n-1) × d

d = verschil (wat je elke keer optelt)

Meetkundige rij (exponentieel)

Elk volgend getal: vast getal vermenigvuldigen

2 ×3→ 6 ×3→ 18 ×3→ 54

u_n = u₁ × r^(n-1)

r = reden (waarmee je elke keer vermenigvuldigt)

Rij herkennen

Stappenplan:

1. Bereken de verschillen tussen opeenvolgende termen

2. Constant verschil? → Rekenkundige rij

3. Bereken de verhoudingen (quotiënten)

4. Constante verhouding? → Meetkundige rij

5. Anders: andere rij (bijv. Fibonacci, kwadratisch)

Recursief vs Direct Verband

Recursief verband

Elke term wordt berekend uit de vorige term(en).

u_n+1 = ... u_n ...

Voorbeelden:
• u_n+1 = u_n + 5 (rekenkundig)
• u_n+1 = 3 × u_n (meetkundig)
• u_n+1 = u_n + u_n-1 (Fibonacci)

Nodig: Startwaarde(n) geven! Bijv. u₁ = 2

Direct verband

Elke term wordt direct uit n berekend.

u_n = formule met n

Voorbeelden:
• u_n = 3n + 2 (rekenkundig)
• u_n = 5 × 2ⁿ (meetkundig)
• u_n = n² + 1 (kwadratisch)

Voordeel: Je kunt direct elke term berekenen!
Bijv. u₁₀₀ zonder alle voorgaande termen.

Van recursief naar direct (rekenkundig)

Gegeven: u_n+1 = u_n + d met u₁ = a

u_n = a + (n-1) × d

Voorbeeld: u_n+1 = u_n + 3 met u₁ = 7
Direct: u_n = 7 + (n-1) × 3 = 7 + 3n - 3 = 3n + 4

Van recursief naar direct (meetkundig)

Gegeven: u_n+1 = r × u_n met u₁ = a

u_n = a × r^(n-1)

Voorbeeld: u_n+1 = 2 × u_n met u₁ = 5
Direct: u_n = 5 × 2^(n-1)

Van direct naar recursief

Stappenplan:

1. Bereken u_n+1 - u_n (voor rekenkundig)

2. Of bereken u_n+1 / u_n (voor meetkundig)

3. Schrijf dit als recursieve formule

Voorbeeld: u_n = 4n - 1
u_n+1 = 4(n+1) - 1 = 4n + 3
u_n+1 - u_n = (4n+3) - (4n-1) = 4
Recursief: u_n+1 = u_n + 4

Fibonacci en Speciale Rijen

Fibonacci-rij

1 1 2 3 5 8 13 21 ...

F_n = F_n-1 + F_n-2

Elke term = som van de twee voorgaande termen

Met F₁ = 1 en F₂ = 1

Fibonacci in de natuur

Komt voor in:

Zonnebloemen (spiralen) - examenvraag 2025!
Dennenappels
Schelpen
Bloembladen (vaak 3, 5, 8, 13...)

Gulden getal: De verhouding F_n+1/F_n nadert φ ≈ 1,618

Eigenschappen Fibonacci

Elke 3e term is deelbaar door 2
Elke 4e term is deelbaar door 3
Elke 5e term is deelbaar door 5
Som van eerste n termen = F_n+2 - 1

Andere speciale rijen

Driehoeksgetallen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Formule: T_n = n(n+1)/2

Kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

Formule: u_n = n²

Kubusgetallen: 1, 8, 27, 64, 125, ...

Formule: u_n = n³

Formule Overzicht - Domein D

Absolute toename Δy = y₂ - y₁

Relatieve toename (Δy / y₁) × 100%

Gemiddelde verandering Δy / Δx

Rekenkundige rij u_n = u₁ + (n-1) × d

Recursief: u_n+1 = u_n + d

Meetkundige rij u_n = u₁ × r^(n-1)

Recursief: u_n+1 = r × u_n

Fibonacci F_n = F_n-1 + F_n-2

Met F₁ = F₂ = 1

Meest gemaakte fouten:
1. Verwarring tussen absolute en relatieve toename
2. Bij rekenkundige rij: (n-1) vergeten, niet (n)
3. Recursief: startwaarde vergeten te geven
4. "5 meer" (lineair) vs "5% meer" (exponentieel)
5. Bij Fibonacci: eerste twee termen zijn beide 1

Examentips Domein D

Beschrijven van verandergedrag

Gebruik deze woorden in je antwoord:

"In het interval [a, b] is de grafiek stijgend/dalend"

"De stijging wordt steeds sneller/langzamer"

"Bij x = ... is er een maximum/minimum"

"De grafiek nadert de waarde ... (asymptoot)"

Contextvragen met rijen

Lees goed of n = 0 of n = 1 het startnummer is
Vertaal de context naar wiskundige taal
"Elk jaar 3 meer" → u_n+1 = u_n + 3
"Start met 100" → u₁ = 100 (of u₀ = 100)

Bewijzen met rijen

Vaak gevraagd: laat zien dat twee formules hetzelfde zijn.

Aanpak:
• Vul n = 1, 2, 3 in beide formules in
• Laat zien dat ze dezelfde waarden geven
• Of: werk de ene formule om naar de andere