Wiskunde C VWO - Domein E: Statistiek en Kansrekening

Examen Strategie - Domein E

Kansrekening in Context - Wat vaak mist in overzichten:

In de examens moet je vaak kansen combineren in een tekstverhaal. Het gaat niet alleen om formules, maar om het begrijpen van de situatie.

Voorbeeld (Examen 2024 - Drielingen):
"Wat is de kans dat minstens een van de drielingen een jongen is?"
Aanpak: Bereken het complement! P(minstens 1 jongen) = 1 - P(geen jongens) = 1 - P(3 meisjes)

Veelvoorkomende vraagtypen:
- "Minstens een..." = Gebruik complement: 1 - P(geen enkele)
- "Precies k van de n..." = Gebruik binomiaalverdeling
- "Gegeven dat..." = Voorwaardelijke kans P(A|B) = P(A en B) / P(B)
- "Onafhankelijk" = Kansen vermenigvuldigen
- "Of" (niet exclusief) = P(A) + P(B) - P(A en B)

Centrummaten

Gemiddelde (rekenkundig)

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n

Som van alle waarden gedeeld door het aantal.

Data: 4, 7, 8, 9, 12
Gemiddelde: (4+7+8+9+12)/5 = 40/5 = 8

Mediaan

De middelste waarde als je de data ordent van klein naar groot.

Mediaan = waarde op positie (n+1)/2

Oneven aantal: 3, 5, 7, 9, 11 → mediaan = 7
Even aantal: 3, 5, 7, 9 → mediaan = (5+7)/2 = 6

Voordeel mediaan: Niet gevoelig voor uitschieters!

Modus

De waarde die het vaakst voorkomt.

Data: 2, 3, 3, 3, 5, 7, 7
Modus: 3 (komt 3× voor)

Let op: Er kunnen meerdere modi zijn, of geen modus als alle waarden even vaak voorkomen.

Gewogen gemiddelde

x̄ = Σ(wᵢ × xᵢ) / Σwᵢ

Elk getal krijgt een "gewicht" (hoe belangrijk het is).

Cijfers: SE 6,0 (weegt 3×), CE 7,5 (weegt 2×)
Gewogen gem: (3×6,0 + 2×7,5)/(3+2) = 33/5 = 6,6

Wanneer welke centrummaat?

Situatie	Beste keuze
Normale verdeling, geen uitschieters	Gemiddelde
Scheve verdeling of uitschieters	Mediaan
Categorische data	Modus
Ongelijke gewichten	Gewogen gemiddelde

Spreidingsmaten

Spreidingsbreedte (Range)

Range = Maximum - Minimum

Data: 3, 5, 7, 12, 15
Range: 15 - 3 = 12

Nadeel: Zeer gevoelig voor uitschieters!

Kwartielen

Q₁ (1e kwartiel): 25% van de data ligt eronder
Q₂ (mediaan): 50% ligt eronder
Q₃ (3e kwartiel): 75% ligt eronder

Kwartielen bepalen:

1. Orden de data van klein naar groot

2. Bepaal de mediaan (Q₂)

3. Q₁ = mediaan van de onderste helft

4. Q₃ = mediaan van de bovenste helft

Interkwartielafstand (IQR)

IQR = Q₃ - Q₁

De "middelste 50%" van de data.

Voordeel: Niet gevoelig voor uitschieters!

Standaardafwijking (σ of s)

σ = √(Σ(xᵢ - x̄)² / n)

Gemiddelde afwijking van het gemiddelde.

Lage σ: Data ligt dicht bij gemiddelde
Hoge σ: Data is verspreid

Op de rekenmachine: Gebruik de statistiek-functies!
σ_x = populatie, s_x = steekproef

Variantie

σ² = Σ(xᵢ - x̄)² / n

Het kwadraat van de standaardafwijking.

Variantie = (standaardafwijking)²

Boxplot (Vijf-getallensamenvatting)

min

max

Min — Q₁ — Mediaan — Q₃ — Max

Statistische Diagrammen

Histogram

Voor continue data in klassen
Staven raken elkaar
Y-as: frequentie of frequentiedichtheid
Oppervlakte stelt frequentie voor

Let op bij ongelijke klassen!
Gebruik frequentiedichtheid = frequentie / klassebreedte

Staafdiagram

Voor discrete of categorische data
Staven raken elkaar NIET
Y-as: frequentie
Hoogte stelt frequentie voor

Cirkeldiagram

Toont verhoudingen (percentages)
Totaal = 360°

Hoek = (deel/totaal) × 360°

25% van totaal: 0,25 × 360° = 90°

Lijndiagram / Tijdreeks

Voor data over tijd
X-as: tijd
Y-as: gemeten waarde
Punten verbonden met lijnen

Spreidingsdiagram (Scatterplot)

Toont verband tussen twee variabelen
Elk punt = één waarneming
Zoek naar patronen: lineair, kromlijnig, geen verband

Cumulatieve frequentie

Optelling van frequenties tot en met een bepaalde waarde.

Ogief: grafiek van cumulatieve frequentie
Handig voor aflezen mediaan en kwartielen

Kansrekening

Kans berekenen

P(A) = gunstige uitkomsten / mogelijke uitkomsten

Dobbelsteen: P(6 gooien) = 1/6 ≈ 0,167

Kans is altijd: 0 ≤ P(A) ≤ 1

Somregel (OF)

P(A of B) = P(A) + P(B) - P(A en B)

Uitsluitend: Als A en B niet samen kunnen:

P(A of B) = P(A) + P(B)

Productregel (EN)

Onafhankelijke gebeurtenissen:

P(A en B) = P(A) × P(B)

Afhankelijke gebeurtenissen:

P(A en B) = P(A) × P(B|A)

Complementregel

P(niet A) = 1 - P(A)

P(minstens één 6 in 3 worpen):
= 1 - P(geen enkele 6)
= 1 - (5/6)³ = 1 - 0,579 = 0,421

Gebruik bij "minstens één"!

Voorwaardelijke kans

P(B|A) = P(A en B) / P(A)

De kans op B, gegeven dat A al gebeurd is.

Onafhankelijkheid

A en B zijn onafhankelijk als:

P(A en B) = P(A) × P(B)

Of: P(B|A) = P(B)

Voorbeelden onafhankelijk:
• Twee dobbelstenen werpen
• Munten opgooien

Afhankelijk:
• Trekken zonder teruglegging

Verwachtingswaarde

E(X) = Σ xᵢ × P(xᵢ)

Het "gemiddelde" dat je verwacht bij vaak herhalen.

Dobbelsteen:
E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = 21/6 = 3,5

Normale Verdeling

Kenmerken normale verdeling

Klokvorm (Gauss-curve)
Symmetrisch rond het gemiddelde
Gemiddelde = mediaan = modus
Bepaald door μ (gemiddelde) en σ (standaardafwijking)

X ~ N(μ, σ)

68-95-99,7 regel

68% ligt binnen μ ± 1σ
95% ligt binnen μ ± 2σ
99,7% ligt binnen μ ± 3σ

IQ-scores: μ = 100, σ = 15
68% heeft IQ tussen 85 en 115
95% heeft IQ tussen 70 en 130

Standaardnormale verdeling

Z ~ N(0, 1)

μ = 0 en σ = 1

Z-score berekenen:

z = (x - μ) / σ

IQ van 130: z = (130-100)/15 = 2
"2 standaardafwijkingen boven gemiddelde"

Kansen berekenen (rekenmachine)

Stappenplan:

1. Noteer μ en σ

2. Gebruik normalcdf(onder, boven, μ, σ)

3. Of: bereken z-score en gebruik tabel

GR-functies:
• normalcdf(a, b, μ, σ) = P(a < X < b)
• invNorm(p, μ, σ) = x-waarde bij kans p

Wanneer normaal verdeeld?

Lengte, gewicht van mensen
Meetfouten
IQ-scores, testscores
Som van veel onafhankelijke variabelen

Niet normaal verdeeld:
Inkomen, wachttijden, levensduur producten (vaak scheef!)

Steekproeven en Onderzoek

Populatie vs Steekproef

Populatie: Hele groep waar je uitspraken over wilt doen
Steekproef: Deel van de populatie dat je onderzoekt

Goede steekproef:
• Groot genoeg (n ≥ 30 is vuistregel)
• Representatief (lijkt op populatie)
• Aselect (willekeurig gekozen)

Soorten steekproeven

Type	Methode
Aselecte steekproef	Willekeurig, elk element evenveel kans
Gestratificeerd	Populatie in groepen, uit elke groep aselect
Systematisch	Elke n-de persoon (bijv. elke 10e)
Gelegenheidssteekproef	Wie beschikbaar is (niet representatief!)

Betrouwbaarheidsinterval

Een interval waarbinnen de werkelijke waarde waarschijnlijk ligt.

x̄ ± z × (σ / √n)

95% betrouwbaar: z ≈ 1,96
99% betrouwbaar: z ≈ 2,58

Groter n: smaller interval (nauwkeuriger)

Correlatie en Causaliteit

Correlatie: Samenhang tussen variabelen
Causaliteit: De ene veroorzaakt de andere

Correlatie ≠ Causaliteit!
IJs-verkoop en verdrinkingen zijn gecorreleerd, maar ijs veroorzaakt geen verdrinking. Beide worden veroorzaakt door warm weer!

Correlatiecoëfficiënt r

-1 ≤ r ≤ 1

r = 1: Perfect positief lineair verband
r = -1: Perfect negatief lineair verband
r = 0: Geen lineair verband
|r| > 0,8: Sterk verband
0,5 < |r| < 0,8: Matig verband

Regressielijn

Beste rechte lijn door de punten:

ŷ = ax + b

Minimaliseert de som van de kwadratische afwijkingen
Gaat door (x̄, ȳ)
Gebruik GR voor a en b!

Formule Overzicht - Domein E

Centrummaten Gemiddelde: x̄ = Σxᵢ/n

Mediaan: middelste waarde

Modus: meest voorkomende

Spreidingsmaten Range: max - min

IQR: Q₃ - Q₁

Standaardafwijking: σ = √(Σ(xᵢ-x̄)²/n)

Kansrekening P(A of B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(A en B) = P(A) × P(B)

P(niet A) = 1 - P(A)

Normale verdeling 68-95-99,7 regel

Z-score: z = (x-μ)/σ

Verwachtingswaarde E(X) = Σ xᵢ × P(xᵢ)

Betrouwbaarheid x̄ ± z × (σ/√n)

95%: z ≈ 1,96

Meest gemaakte fouten:
1. Histogram: oppervlakte i.p.v. hoogte bij ongelijke klassen
2. Correlatie verwarren met causaliteit
3. Bij mediaan: vergeten data te ordenen
4. Productregel gebruiken bij afhankelijke gebeurtenissen
5. 68-95-99,7 regel: σ i.p.v. 2σ of 3σ gebruiken

Tips voor het Schoolexamen

Rekenmachine statistiek

Ken deze functies:
• 1-Var Stats: gemiddelde, σ, mediaan, kwartielen
• LinReg: regressielijn y = ax + b
• normalcdf: kans bij normale verdeling
• invNorm: x-waarde bij gegeven kans

Oefen dit VOOR het examen!

Contextvragen

Lees goed wat er gevraagd wordt
Controleer of steekproef representatief is
Let op eenheden
Rond pas aan het einde af
Geef antwoord in context ("Er is 68% kans dat...")

Veelvoorkomende vraagtypen

"Bereken de kans dat..." → Kansregels
"Hoeveel procent..." → Normale verdeling + GR
"Is er een verband..." → Correlatie, spreidingsdiagram
"Is de steekproef representatief..." → Steekproefmethode bespreken
"Geef een boxplot..." → Min, Q₁, mediaan, Q₃, max