Wiskunde C VWO - Domein C: Verbanden

Examen Strategie - Domein C

Prioriteitsvolgorde voor een voldoende:

1. Lineaire Verbanden - Komt in ELK examen meerdere keren voor! Vaak makkelijke punten door een tabelletje te maken.

3. Exponentiele Groei en Procenten - Essentieel! Onthoud: afname van 3% = groeifactor 0,97

7. Logaritmen op de GR - Gebruik de Intersect functie om vergelijkingen op te lossen!

Rekenmachine tip: Bij vergelijkingen zoals 10,5 x 0,972^t + 4,6 = 15:
Vul linkerkant in als Y1, rechterkant als Y2, gebruik dan intersect (2nd CALC 5)

Grenswaarden Beredeneren VAAK GEVRAAGD!

Wat gebeurt er als t heel groot wordt?

Dit type vraag komt in bijna elk examen voor!

Aanpak:

1. Kijk naar de exponentiele termen: g^t

2. Als g groter dan 1: de term wordt heel groot

3. Als 0 kleiner dan g kleiner dan 1: de term wordt bijna 0

4. Vul dit in de formule in en vereenvoudig

Voorbeeld (Examen 2024):
N(t) = 450 / (1 + 2,72^(-0,307t))

Vraag: Wat is de grenswaarde als t heel groot wordt?
Beredenering:
- 2,72^(-0,307t) met negatieve exponent: als t groter wordt, wordt dit bijna 0
- De noemer wordt: 1 + 0 = 1
- Dus N(t) nadert 450/1 = 450

Standaardzinnen voor je antwoord:
- Als t groter wordt, wordt g^t steeds kleiner en nadert 0
- De noemer/teller nadert dan de waarde...
- De grenswaarde is...

Eenheden Omrekenen en Gemiddelde Snelheid

Snelheid omrekenen

m/s x 3,6 = km/u

km/u / 3,6 = m/s

Voorbeeld: 25 m/s = 25 x 3,6 = 90 km/u

Tijd omrekenen

Seconden naar minuten en seconden:

135 seconden:
135 / 60 = 2 rest 15
= 2 minuten en 15 seconden

Decimale uren naar uren en minuten:

2,75 uur:
0,75 x 60 = 45 minuten
= 2 uur en 45 minuten

Gemiddelde snelheid

v = afstand / tijd

Let op eenheden!
- afstand in km en tijd in uur geeft km/u
- afstand in m en tijd in s geeft m/s

Lineaire Verbanden PRIORITEIT #1

De formule

y = ax + b

Waarbij:

a = richtingscoëfficiënt (helling, steilheid)
b = startwaarde (y-waarde bij x = 0)

Richtingscoëfficiënt berekenen

a = Δy / Δx = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Punten: (2, 5) en (6, 13)
Berekening: a = (13 - 5) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2

Betekenis van a:
• a > 0 → lijn stijgt (van links naar rechts)
• a < 0 → lijn daalt
• a = 0 → horizontale lijn
• |a| groot → steile lijn

Lineair verband herkennen

Grafiek is een rechte lijn
Tabel: constante toename bij gelijke x-stappen
Formule: x komt alleen voor in de eerste macht

Tabel check:
x: 0, 1, 2, 3, 4
y: 3, 7, 11, 15, 19
Toename: +4, +4, +4, +4 → Lineair met a = 4

Formule opstellen

Stappenplan:

1. Bereken a met twee punten

2. Vul a en één punt in: y = ax + b

3. Los b op

Gegeven: punten (2, 5) en (6, 13)
Stap 1: a = 2 (zie boven)
Stap 2: 5 = 2 × 2 + b
Stap 3: b = 5 - 4 = 1
Formule: y = 2x + 1

Kwadratische Verbanden

De formule (parabool)

y = ax² + bx + c

Grafiek: parabool

a > 0 → dalparabool (U-vorm)
a < 0 → bergparabool (∩-vorm)

Ezelsbruggetje: Positieve a = "blij gezicht" ∪, negatieve a = "verdrietig gezicht" ∩

Top van de parabool

x_top = -b / (2a)

Vul x_top in de formule om y_top te vinden.

Gegeven: y = 2x² - 8x + 5
x_top: -(-8) / (2×2) = 8/4 = 2
y_top: 2(2)² - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
Top: (2, -3)

Nulpunten (snijpunten x-as)

Los op: ax² + bx + c = 0

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Discriminant: D = b² - 4ac
• D > 0 → 2 snijpunten
• D = 0 → 1 snijpunt (raakt x-as)
• D < 0 → geen snijpunten

Kwadratisch herkennen in tabel

Bij gelijke x-stappen: de tweede verschillen zijn constant.

x: 0, 1, 2, 3, 4
y: 1, 4, 9, 16, 25
1e verschillen: 3, 5, 7, 9
2e verschillen: 2, 2, 2 → Constant! → Kwadratisch

Machtsfuncties

De formule

y = a × xⁿ

Waarbij n een vast getal is (de exponent).

Soorten machtsfuncties

Exponent n	Naam	Voorbeeld
n = 1	Lineair	y = 3x
n = 2	Kwadratisch	y = x²
n = 3	Derdegraads	y = x³
n = ½	Wortel	y = √x = x^0,5
n = -1	Omgekeerd evenredig	y = 1/x
n = -2	Kwadratisch omgekeerd	y = 1/x²

Evenredig en omgekeerd evenredig

Evenredig: y = a × x (n = 1)
Als x verdubbelt, verdubbelt y ook.

Kwadratisch evenredig: y = a × x²
Als x verdubbelt, wordt y 4× zo groot.

Omgekeerd evenredig: y = a / x
Als x verdubbelt, halveert y.

Machtsfunctie herkennen

In een tabel:

Bereken y/xⁿ voor verschillende punten

Als dit constant is → machtsfunctie met die n

Test voor y = ax²:
x = 2, y = 12 → y/x² = 12/4 = 3
x = 3, y = 27 → y/x² = 27/9 = 3
Constant! Dus y = 3x²

Exponentiële Verbanden

De formule

N = b × g^t

Of: y = b × g^x

b = beginwaarde (bij t = 0)
g = groeifactor
t = tijd (of x)

Groeifactor g

g > 1 → exponentiële groei
0 < g < 1 → exponentieel verval
g = 1 → constant (geen verandering)

Groei van 5%: g = 1 + 0,05 = 1,05
Afname van 12%: g = 1 - 0,12 = 0,88

Groeifactor berekenen uit tabel

g = y₂ / y₁

(bij opeenvolgende t-waarden met stapgrootte 1)

t: 0, 1, 2, 3
N: 100, 120, 144, 172,8
g: 120/100 = 1,2 (check: 144/120 = 1,2 ✓)

Verdubbelingstijd / Halveringstijd

T = log(2) / log(g)

Of los op: g^T = 2 (verdubbeling) of g^T = 0,5 (halvering)

Groeifactor g = 1,05 per jaar:
T = log(2) / log(1,05) ≈ 14,2 jaar
Na 14,2 jaar is de waarde verdubbeld.

Procentuele groei per periode

p = (g - 1) × 100%

g = 1,08: p = (1,08 - 1) × 100% = 8% groei
g = 0,95: p = (0,95 - 1) × 100% = -5% (5% afname)

Exponentieel herkennen

In een tabel (met constante x-stappen):

Bereken telkens y_n+1 / y_n
Als dit constant is → exponentieel

Let op: Lineair: constante verschillen
Exponentieel: constante quotiënten (verhoudingen)

Groeifactor bij andere tijdstap

Groeifactor per jaar g_jaar → groeifactor per maand:

g_maand = g_jaar^1/12

4% groei per jaar: g_jaar = 1,04
Per maand: g_maand = 1,04^1/12 ≈ 1,00327
Dus ≈ 0,327% per maand

Formule opstellen

Stappenplan:

1. Bepaal b (beginwaarde bij t = 0)

2. Bepaal g uit twee punten: g = (N₂/N₁)^{1/(t₂-t₁)}

3. Schrijf: N = b × g^t

Logaritmische Verbanden

Wat is een logaritme?

log_g(x) = y ⟺ g^y = x

Betekenis: "Tot welke macht moet ik g verheffen om x te krijgen?"

log₂(8) = ?
2 tot de hoeveel = 8? → 2³ = 8 → antwoord: 3

Speciale logaritmen

log(x) = log₁₀(x) - "gewone" logaritme
ln(x) = log_e(x) - natuurlijke logaritme (e ≈ 2,718)

Op je rekenmachine:
• log = logaritme met grondtal 10
• ln = natuurlijke logaritme

Rekenregels logaritmen

log(a × b) = log(a) + log(b)
log(a / b) = log(a) - log(b)
log(aⁿ) = n × log(a)
log(1) = 0
log(g) = 1 (bij grondtal g)

Logaritme met ander grondtal

log_g(x) = log(x) / log(g)

log₃(15) = ?
= log(15) / log(3)
= 1,176 / 0,477 ≈ 2,46

Dit is de "verwisselformule"!
Zo kun je elke logaritme uitrekenen op je rekenmachine.

Exponentiële vergelijking oplossen

Los op: 3^x = 20

1. Neem aan beide kanten de logaritme

2. log(3^x) = log(20)

3. x × log(3) = log(20)

4. x = log(20) / log(3) ≈ 2,73

Logaritmische schaal

Op een logaritmische schaal worden grote bereiken overzichtelijk weergegeven.

Voorbeelden:
• Richter-schaal (aardbevingen)
• Decibel (geluid)
• pH-schaal (zuurgraad)
• Inkomen vs geluk (examenvraag 2025!)

Op logaritmische schaal:
• Exponentiële groei ziet eruit als een rechte lijn!
• Afstand tussen 10 en 100 = afstand tussen 100 en 1000

Logaritmische functie y = log(x)

Alleen gedefinieerd voor x > 0
Gaat door punt (1, 0)
Stijgt langzaam (steeds vlakker)
Is het omgekeerde van y = 10^x

Tijdstip berekenen (exponentieel)

Vraag: N = 500 × 1,03^t. Wanneer N = 800?
Oplossing:
500 × 1,03^t = 800
1,03^t = 1,6
t = log(1,6) / log(1,03) ≈ 15,9

Grafieken Lezen en Interpreteren

Grafiek herkennen

Type	Grafiek
Lineair	Rechte lijn
Kwadratisch	Parabool (U of ∩)
Exponentieel (g>1)	Steeds sneller stijgend
Exponentieel (g<1)	Naar 0 afvlakkend
Logaritmisch	Snel stijgen, dan vlak
Wortel	Lijkt op logaritme

Asymptoten

Horizontale asymptoot: lijn waar grafiek naar toe gaat maar nooit bereikt
Verticale asymptoot: "verboden" x-waarde

y = 2^x: horizontale asymptoot y = 0
y = 1/x: asymptoten x = 0 en y = 0

Snijpunten bepalen

Met x-as: stel y = 0, los x op
Met y-as: stel x = 0, bereken y
Twee grafieken: stel formules gelijk

Transformaties van grafieken

y = f(x) + c: c omhoog schuiven
y = f(x - c): c naar rechts schuiven
y = a × f(x): verticaal rekken (factor a)
y = f(a × x): horizontaal krimpen (factor 1/a)
y = -f(x): spiegelen in x-as

Let op! y = f(x - 3) schuift naar RECHTS, niet links!

Formule Overzicht - Domein C

Lineair y = ax + b

a = Δy / Δx

Kwadratisch y = ax² + bx + c

x_top = -b/(2a)

x = (-b ± √D)/(2a)

Machtsfunctie y = a × xⁿ

Exponentieel N = b × g^t

T_verdubbeling = log(2)/log(g)

Logaritme log_g(x) = log(x)/log(g)

log(a^n) = n × log(a)

Percentage ↔ Groeifactor g = 1 + p/100

p = (g - 1) × 100%

Meest gemaakte fouten:
1. Bij exponentieel: groeifactor verwarren met percentage
2. log(a + b) ≠ log(a) + log(b) !
3. y = f(x - 3) schuift naar RECHTS, niet links
4. Vergeten dat log(x) alleen bestaat voor x > 0
5. Bij abc-formule: teken van b vergeten

Examentips Domein C

Type verband herkennen

Check	Conclusie
Constante 1e verschillen	Lineair
Constante 2e verschillen	Kwadratisch
Constante verhoudingen	Exponentieel
y/xⁿ constant	Machtsfunctie y = axⁿ

Rekenmachine tips

Oefen VOOR het examen:
• log en ln knoppen vinden
• ^ of x^y voor machten
• Regressie (formule uit punten)
• Vergelijkingen oplossen
• Grafische rekenmachine: intersect functie

Context-vragen

Bij contextvragen (bevolkingsgroei, afname radioactiviteit, etc.):

Lees goed wat t = 0 betekent (welk jaar?)
Check eenheden (per jaar, per maand, per uur?)
Rond pas aan het EIND af
Geef antwoord in context ("in het jaar 2030" niet "t = 10")